Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
49. Доказать, что если р и q — целые положительные числа и если р2 + #2 делится на 7, то каждое из чисел р и q также делится на 7.
50. Доказать, что выражение
хъ + Zx*y — 5*V — 1 Ъх2у3 + 4ху* + 12у5
не равно 33 ни при каких целых значениях х и у.
51. Функция J(X)1 определенная при всех действительных значениях X1 удовлетворяет следующим условиям:
а) / (х + у) + / (х — y) = 2f(x)f(y) при любых значениях х и у;
б) существует такое положительное число с, что /^-0 = 0 и /(х)ф0,
если 0 < X < -Tj-;
в) /(0)>0.
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
151
Доказать, что тогда:
а) /(O)=I;
б) /(*) = /(-*);
в) /(0 = -/(0) = -1;
г) /(* + с) = —/(*);
д) f(x+ 2с) = f{x);
е) /(2с)=1;
ж) |/(х)|< 1.
Доказать, что данному функциональному уравнению удовлетворяет только
фуНКЦИЯ /(X)=COSX (с=тг).
52. Найти f (п) (п — натуральное число), если
л/00-1 = (л — 1)/("-1).
53. Найти непрерывную функцию /(х), удовлетворяющую функциональному уравнению
af(x + \) — bf (х) = сх + dt
где o, b, су d—данные числа, f(0)=n и на интервале от 0 до 1 функция /(х) линейная.
54. Решить функциональное уравнение
\f {X) ]* = /(2х) + с,
где с — постоянная величина.
55. Решить функциональное уравнение
/(*)== cos ¦?/(?),
где /(х) — непрерывная функция, причем /(0)=1.
56. Найти непрерывную функцию /(х), такую, что
57. Функция /(л:) обладает следующими свойствами:
а) при х>0, f(x) >0;
б) /(*+у) = /(*)+/(у).
Найти эту функцию.
58. Доказать, что если при любом значении х и постоянном а имеет место равенство
то f (х) — периодическая функция.
59. Произвести указанные действия:
а) б) в) г) Д)
1—/tga '
a + bt . а — '
(I+2Qu-(I -/)3 . (3 + 203-(2 + /р ' (1-06-1 .
(1+/)4-1 (1 + О9 (l-ty •
152
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
60. Вычислить
а) (а ф. 0Ш _|_ т2) (a 4~ 6а>2 -f ссо);
б) (а ф- баз 4- ceo2)3 (а 4- баз2 4- са))3;
в) (a<D24-6(D)(6(D24-a(D),
где
61. Решить уравнение в случае, если
—1±/Уз
CD = -2-
X4 4~ рх2 4- ? = —?<о.
4
62. Представить в тригонометрической форме следующие числа:
а) — 1; б) /; в) —/; г) — 1—//З; д) 1-//3; е) V$ — L
63. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:
а) 3 4- 2/; б) 3 — 2*; в) — 3 4- 2/; г) — 3 — 2/.
64. Найти геометрическое место точек z*, для которых
a) |z|= 1; б) args = ~ **.
65. Найти геометрическое место точек z1 для которых
Iz-Z1 -- =а,
IZ-Z2
где z1 и — данные комплексные числа (z1 Ф z2) и я — данное положительное число, не равное 1.
66. Вычислить
(1 4~ cos а 4" і sin а)л.
67. Извлечь корни
a) УТ; б)
68. Извлечь корень
a) Vt; 6)^2 — 3/; в) V — 4; г) |Л; д) V"— 27.
Уз 4-2/.
69. Найти все комплексные числа, для которых
z = zn~\
где z — число, сопряженное с z, а /г — целое положительное число.
70. Решить уравнения:
а) (z ф- \)т —(Z- 1Г = 0;
б) (z + i)m — (z — /)т = 0;
в) г" — /шг"-1 — C2na2zn-2 — ... — ап = 0.
71. Три последовательные вершины параллелограмма находятся в точках z1, z2i zz. Найти число, определяющее положение четвертой вершины.
72. Найти середину отрезка, концы которого z1 и z2.
* Выражение «точка z> означает «точка с координатами x1 уъ (z = х ф Iy, хну — действительные числа) ** arg z — аргумент г.
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
153
73. Точки Z1, Z2, Zn — вершины выпуклого многоугольника. Найти геометрическое место точек
Z = X1Z1-X-X2Z2+ ... +InZn,
где X1, X2.....ХЛ — действительные положительные числа- и
X1 + X2+ ... +Хя = 1.
74. Как изменяется аргумент произведения z(z—1), если точка z описывает
против часовой стрелки замкнутую линию, содержащую.....внутри себя
точки 0 и 1.
76. Даны два комплексных числа: Z1 и Z2,
Доказать, что два треугольника, вершины которых соответственно
О, 1, Z1
и
О, z2, Z1Z2,
подобны и одинаково ориентированы (т. е. обход вершин обоих треугольников в указанном их порядке совершается в одинаковом направлении).
76. Доказать, что треугольники с вершинами
. О, 1, Z29 О, Z19 ^
1 Z2
подобны и одинаково ориентированы.
77. Рассмотрим тождество
(abr _ агщ (cd' — c'd) = (ас + bd) (а'с' + Vd') — (ac' + bd') (а'с + b'd). Положим в этом тождестве
а
= a + ?j,
b
= т+и.
с
d
= t'+s%
а'
V
— а — %
с'
d'
= а' — ?'i.
Доказать, что произведение суммы четырех квадратов на сумму четырех квадратов может быть представлено в виде суммы четырех квадратов. 78. Доказать то же положение, исходя из тождества
_J___= ___М+(—___—)
а — b а — d \а — b а — с/ 1 \а — с а — dj*
Отсюда
(b — d)(a — c) = (b — с) (а — d) + (с — d)(a — b). Положить затем
л_p+iq__Pi+!*?' *_—г + si d_— ґ + s'i
г -j- is' г'+ is'' p — qi ' p' — q'i
79. Какое преобразование (геометрическое) определяется равенством
_., 1
154
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
80. Какую линию описывает точка
