Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
В
Черт. 1.
27. Для того чтобы прямые AP9 BQ, CR (черт. 1) пересекались в одной точке, лежащей внутри треугольника ABC, .. ., чтобы
BP CQ AR _ 1 PC ' QA ' RB — А'
где P9 Q9 R — соответственно точки, лежащие на отрезках BC9 CA и AB.
Глава XV РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1. Решить в целых числах уравнение
ху = х-\-у.
2. Решить в целых положительных числах следующие системы уравнений:
а) х*-\-у = у2 + х = 42\
б) х2-\-у = у2-\-х=:\7;
в) ^2-4-^, = 67, у + * = 21;
г) x2 + j,= 294, j/2 + x = 42;
д) х2+;/ = 92, у2 + *= 130.
3. Решить в целых числах уравнение
2ху+ 3/ = 24.
4. Решить в целых числах уравнение
3*_2У=1.
б. Найти все положительные действительные, а также все положительные рациональные решения уравнения
ху = у*.
6. Найти целые числа X9 у, z и а такие, что
x2-\-y2-\-z2-\-u2 = 2xyzu.
7. Доказать, что равенство
x2 + y2-\~z2 = 2xyz для целых X9 у и z верно только при
X = y = z = 0.
8. Доказать, что при любых значениях хну выражение
(X + у) (X + 2 у) (X + 3 JO (X + 4 у) + у4
есть точный квадрат.
9. Доказать неразрешимость в целых числах уравнения
X2 — у2 = 2xyz.
Случай x=±yt z = Q исключается.
10. Решить в целых положительных числах уравнение
(x + y) = (x-yf.
11. Доказать, что уравнение
-+-+-=1
х- ' ху ' уз не имеет целых положительных решений.
.^„„-,.:^ ^™"'"- Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 149
12. Решить в целых числах уравнение
2-г+1 = уг.
13. Решить в целых положительных числах уравнение
8Х2 _ у2 _j_ 8х _ Ъу _|_ 6 = 0 ^
14. Доказать, что уравнение
хз _]_ уз _]_ yz = 9z2
не решается в целых числах (решение л* = 0, у=-О, Z = O исключается).
15. Решить в целых числах уравнение
(х + yf — (X + j;) — 2х = 150.
16. Доказать, что уравнение
X2 — 3,у2— 17
не имеет решений в целых числах.
17. Решить в целых числах уравнение
X2 -f- Xу -\- у2 — х2у2.
18. Найти целые положительные решения уравнения
X У у z
19. Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.
20. Доказать, что уравнение
•V,-, / . у2 = 5х2-\-6х+\5
не имеет целых решений.
21. Решить уравнение
S*= Ay+ 5 _ ?
в целых числах.
22. Решить в целых положительных числах систему уравнений
Х2 _j_ 5у2 _|_ 4Z2 _|_ 4jcj, _j_ 4_у^- =: 125,
л:2 + ЗУ2 — Az2 + Аху — Ayz = 75.
23. Найти два рациональных числа, сумма которых равнялась бы сумме их квадратов.
24. Найти все рациональные решения уравнения
9х2 — у2 4-7^ — 3= 0. 26. Найти все рациональные решения уравнения
2.V2 — 5*+16 — .у2 = 0.
26. Найти все рациональные решения уравнения
у2 — з^2 +. 2х — 5.
27. Найти все целые положительные решения уравнения
*2 —6ху4-13.у2==100.
28. Найти все целые решения уравнения
2у2 + Ъху + у2 = 35.
150
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
29. Доказать, что 27 1958— 108878+-10 1528 делится без остатка на, 26460.
30. Вывести признак делимости на 11.
31. Найти наименьшее число, которое при делении па 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 дает остатки, соответственно равные 1, 2, 3, 4, 5.
32. Доказать, что при любом целом значении а а3— а делится на 3, аь — а делится на 5, а7 — а делится на 7.
33. Доказать, что если р и q — простые числа, большие трех, то р2 — q2 делится на 24.
34. Найти все простые числа р, такие, чтобы р+10 и р + 14 также были простыми числами.
35. Для каких значений п сумма ряда натуральных чисел от 1 до п делится на 99?
36. Доказать, что при нечетном п выражение /г3— п делится на 24.
37. Найти два трехзначных числа, сумма которых кратна 504, а частное кратно 6.
38. Найти два числа, произведение которых есть трехзначное число, являющееся точным кубом некоторого натурального числа, а частное от деления большего числа на меньшее—квадрат этого натурального числа.
39. Найти коэффициенты при ab2c3d4, abed7 и cbd'° в разложении (а—?+с — о1)10.
40. Доказать, что если р и q — целые положительные числа, то число (р+ I)2?+1 +р?+2 делится на число р2+ р+ 1 (добавить и отнять р*№Ш))я
41. Доказать, что если x3-\-y3 = z3, где X1 у и z — целые числа, то одно из чисел X1 у или z должно делится на 3.
42. Доказать, что если xb-\-yb = zb1 где х, у, z — целые числа, то одно из них должно делиться на 5.
43. Доказать, что 15 + 25 + 35+ ... +(2/г)5 делится на 2/г+1.
44. Воспользовавшись равенством
1 000 009 = 10002 + З2 = 9722 + 2352,
разложить 1 000 009 в произведение двух целых положительных множителей, каждый из которых отличен от 1.
45. Найти сумму парных произведений квадратов п первых натуральных чисел.
46. Доказать, что если имеется 100 целых положительных чисел, то из них всегда можно выбрать несколько (или может быть одно) таких, что их сумма разделится на 100.
47. Из двухсот чисел: 1, 2, 3, 4, 5, . . ., 199, 200, произвольно выбрали 101 число. Доказать, что среди выбранных чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.
48. Найти значения k, при которых корни уравнения х4— (Zk + 5) х2 + + (/г+ I)2 = 0 образуют арифметическую прогрессию.
