Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
63. Сколькими различными способами можно распределить 20 различных предметов между 5 лицами так, чтобы каждый получил по 4 предмета.
64. Можно ли выложить в цепь, следуя правилам игры, все 28 костей домино так, чтобы на одном конце оказалась шестерка, а на другом — пятерка?
65. Числа от 1 до 1 000 вписаны подряд по кругу. Начиная с первого, вычеркивается каждое 15-е число: 1, 16, 31, причем при повторных оборотах зачеркнутые числа считаются снова. Число оборотов неограниченно. Сколько чисел останется незачеркнутыми?
66. Сколькими различными способами число 1000 000 можно представить в виде произведения трех целых чисел? Представления, отличающиеся только порядком множителей, считаются тождественными.
67. Плоская геометрическая фигура состоит из 9 точек и 9 прямых отрезков; через каждую точку проходят 3 отрезка и на каждом отрезке лежат 3 точки. Какова эта фигура?
Алгебра. Гл. XI. КОМБИНАТОРИКА
137
68. Можно ли ходом ладьи (на одну клетку) попасть из одного угла шахматной доски в противоположный, побывав в каждой клетке доски один и только один раз? Можно ли проделать то же самое ходом коня?
69. Город имеет вид прямоугольника, разделенного улицами на квадраты. Таких квадратов в направлении с севера на юг — /г, а в направлении с востока на запад — т. Сколько имеется возможных (различных хотя бы в части пути) кратчайших дорог от одной из вершины прямоугольника до противоположной?
70. В выпуклом 13-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на многоугольники. Возьмем среди них многоугольник с наибольшим числом сторон. Какое самое большое число сторон может он иметь?
71. Сколько различных шаров можно построить в пространстве так, чтобы они касались трех данных плоскостей и данного шара?
72. На сколько частей разбивается выпуклый я-угольник всеми его диагоналями, если никакие три из них не пересекаются в одной точке внутри /г-уголь-ника?
Глава XII БИНОМ НЬЮТОНА
1. Исходя из равенства
(1+хУ = С0 + СіХ+С2х* + ... +Спх«, вычислить суммы:
а) C1 + 2C2 + 3C3+ ... +яС„;
б) C0+ 2C1+ 3C2 + ... +(« + 1)С„;
в) С2 + 2С3+ЗС4+ ... +(д_1)Сп;
г) C0+3C1+ 5C2+ ... +(2я+1)Сл;
д) 3C1+7C2+HC3+ ... +(4я-1)Ся;
е) C0-2C1+ 3C2- ... + (_!)«(„+!)?„;
ж) C1-2C2+ 3C3- ... +(_l)«-i«C„; \ Cq і С\ і C2 і і Cn г
з) l"1"2"r"3"f"•••"1"л+l,
+ ? + "- + Tif^
к)^--§Ч-?- ... 4-(-1)л7ГТГ' л) Cl — Cl + Cl-Cl+ ... +(—1)яс5.
2. Найти число членов разложений (после приведения подобных членов):
а) (а+Ь + с)п;
б) (a + b+c + df.
3. Найти наибольший коэффициент в разложениях
а) (a + *+c)">;
б) (a + b + c-\-d)u.
4. Пусть а0, alt а2> ...—коэффициенты в разложении
(1 -\-х-\-х2)п по возрастающим степеням х. Доказать, что:
а) O0O1 — аха2-\-а2а3— ... —о2п^ха2п = 0;
<\ 2 2.2 і , 2 ,Ix *\я 2 1
б) а0 — аі + а2— ... +(—1) Ал-і+уС—1) оя = -2а«;
в) ar — nar_x-\--L_^flr.2— ... + r] (л1г)!> ^o-=0
(исключая случаи, когда г кратно 3);
г) о0+а3 + аб+ ... =fli+fl4 + ?7+ • • • =^2 + ^5 + ?+ • • . = 3"-1. б. Сколько рациональных членов содержится в разложении
(У2~+1/з)100?
Алгебра. Гл. XII —БИНОМ НЬЮТОНА
139
6. Определить номер наибольшего члена разложения (p-\-q)n по убывающим степеням буквы р, предполагая, что
р>0, <7>0, p + q=l.
При каких условиях:
а) наибольший член будет первым?
б) наибольший член будет последним?
в) разложение будет содержать два одинаковых последовательных члена, превышающих все остальные члены разложения?
7. Доказать, что в разложении (а-{~Ь)п, (а > О, Ъ > 0, п — целое положительное число) не может быть трех одинаковых последовательных членов. При каких условиях разложение имеет два одинаковых последовательных члена?
8. Доказать, что сумма квадратов коэффициентов бинома Ньютона (х + а)л равна C2n.
9. Определить показатель п (п — целое положительное число) разложения
/1 . 2 Vі
по убывающим степеням величины х, если 10-й от начала член этого разложения имеет наибольший коэффициент. 10. Если в разложении
{а + Ь + с+ ... +If
все числовые коэффициенты заменить на 1, то получим целую рациональную функцию от а, Ь, с, . . ., / (однородную), которую будем обозначать так:
[a, b, с, . . ., I]n.
Доказать следующие тождества:
а) [а2, A3, . . ., ap+l]n — [A1, а2----, ар]я = (ар+1 — A1) [A1, A2, ..., Ap+1Jn-1;
б) [fli, Ci2..... ap]n = [alt а2, ар_х\п + ар [A1, A2,..., ap_l]n_l-^r
+ Ap[A1, A2,..., Ap-1In-2+ ... +Ap[A1, A2, Ар-1]0,
ГДЄ [A1, A2, . . ., Ap-1I0= 1.
П. Полагая
доказать, что
s*,pn = (*+ 1K^ — (slip + s2fp+ ... +sn, р).
12. Найти число различных (не подобных между собой) членов разложения
(X1+X2+ X3+ . . . + хл)3,
получающихся после возведения в степень.
13. Найти коэффициент при х4 в разложении
(1 +2х + 3х2)10.
14. Определить число отличных от нуля коэффициентов в разложении
О+^ + ^-Ао + А^+А.хЧ" ... +a100XlOO.
15. Найти коэффициент при xk в разложении
(1+х + х2 + х3+ ... +X"-1)2.
Глава XIII
