Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 46

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 381 >> Следующая


называется возвратной последовательностью &-го порядка, если ее члены связаны соотношением

где k — фиксированное целое положительное число, P1, р2, Рз, .... Pk — фиксированные числа (возможно и комплексные).

Для задания возвратной последовательности (1), удовлетворяющей соотношению (2), достаточно задать k ее первых членов

O1, cl2I . . . , ?fo*

так как тогда ak+1 определится из соотношения (2), затем из того же соотношения (2) найдем ak+2 и т. д. Отсюда следует, что если мы найдем такое выражение для ап, которое

а) при /1=1, я = 2, .... n = k обращается в ах, аъ я3, ak

б) и которое удовлетворяет соотношению (1), то это выражение и будет решением вопроса об отыскании последовательности (1), удовлетворяющей соотношению (2). Кроме того, из сказанного выше следует, что мы найдем общее выражение для ап, удовлетворяющее соотношению (2), если мы найдем такую функцию ап = f (п, C1, . . ., Ck), от п и от k произвольных постоянных,

которые могут быть определены при произвольном задании /(1,C11C2.....C^) =

= аи /(2, C1, C2.....g = e2...../(ft, C1, C2.....Ск) = ак.

Решение уравнения (2) ищется в виде ап = хп; если полученное при этом уравнение относительно k

xk + pixk-l+pzxk-2+ _ +/7a = 0

§ 2. ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

121

(называемое характеристическим) имеет простые корни, то общее решение будет иметь вид

я ап = C1Xl + Сох! -f...+ Ckxl (3)

Если же, например, X1 — корень кратности X:

X1 = X2 = ... = хх, то соответствующая сумма в выражении (3) заменяется на (C1 + С2п + C8n8 H- ... + Сх&-*)х\.

вратных
последовательностей:


1.
?n+a — 5ал+1-Ь6ал = 0.


2.
?n+2 — 4ал+14-За„ = 0.


3.
a«+2 + ^+i + an = 0.


4.
o«+2 — ал+1-Ь5ал = 0.


б.
?«+2 —4?n+1 + 4a„ = 0.


6.
?nt2-T-2a„+1-T-?n = 0.


7.
ол+ї + 3вл = 0-.


8.
ая+2 — ?„ = 0-


9.
«л+з— 9?«+2 + 26ал+1 — 24a„ =
= 0.

10.
ап+3 2ал+2 — ап+1 — 2а„ =
= 0.

П.
ап+3 — Зял+2 +¦ а„ , і — Зс„ =
= 0.

12.
ап+з — Зйл+2 — 50а„ = 0.


13.
ал+з —Звя,г1 + 2ал=:0.


14.
сл+з+ 10ал+2-Ь32ап+1-Ь32ал
= 0.

16.
««+з — 6?„+2 -h 12ап+1 — 8а„
= 0.

16.
«я+з — За„+2 4" Зал+1 — ал
= 0-

17.
ап+з + Зая+2 + Зап+14- а„
= 0.

18.
ал+3 — (2 cos а -f- 1) a„+2-|-(2cosa-)- 1)а
Я + 1

= 0.

В следующих задачах (№ 19—27) требуется найти ая, зная соотношение (2) и соответствующее количество первых членов последовательности:

19. Cin+2 — 5an+1 + Gan = 0, ах = 1, а2 = — 7.

20. оя*-2 —4ая+і4-3оя = °» где: О = 3, я2 = 9;

2) O1 = а2= 2; 3) A1=IO, а2=16.

1 V3

21. *я+2 + *л+1 + *я==0. «1 = --4. «2 =--2~.

22. O11+2-ая+1 + 5ая = 0, A1 = 2, а2 = — 3.

23. яяч2 — 4ал+1 -r-4an = 0, где: 1) 0,. = 2, я2 = 4;

2) U1 = 2, а2 = 8; 3) A1 = O, а2 = —4.

24. ^+2+2ая+14-ая = 0, ^1 = —1, я2=1.

25. ял+3 —9яя + 2Ч-26ая+1 —24ал = 0, O1=I, а2 = —3, а3 = — 29.

26. ллл-з—Зал+2-|-алЧ1 —3оя = 0, O1 = 3, A2 = 7, = 27.

27. ап+г — Злл+1 + 2ол = 0, O1 = U9 Q2 = Ь, а3 = с.

122

Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

28. Найти сумму а1ф-а2ф-а3ф- ••• +Дя. если ak+2+-pak+1-\~qak = 0 и • p-\~q-\~ 1 Ф 0.

29. Найти возвратную последовательность такую, что

ап+2 — 2 cos аап+1 -f~ яя = 0, A1 = cos а, а2 = cos 2а,

и затем найти отсюда сумму cos а ф- cos 2а -j- ... + cosfta.

30. Убедиться в том, что последовательность с общим членом an = nk удовлетворяет соотношению

an+k — C\an+k-i + С?яя+?-2+ ... +(—1)*С*ая = 0.

Найти все последовательности, удовлетворяющие этому соотношению.

31. Найти все последовательности, удовлетворяющие условию

ял+2 —5яя+1 + 6оя = 4.

32. Найти последовательность, для которой

«л+2 —бАя+і + 9ая=: —4, U1= 1, O2 = —7.

33. Найти последовательность, для которой

ап+2-\~ап — а' ^1 —2/, a2 = -i-.

34. При каком условии последовательность, определяемая соотношением

ап+1 = рап + д, рФ 1

будет сходящейся. Найти в случае ее сходимости предел.

35. При каком условии возвратная последовательность

Ял+2+РвЯ + 1+?ЯЯ = 0

будет иметь предел. Чему будет равен этот предел?

36. а) Доказать, что «частным» решением уравнения

ая+2 + PCin+1 ф- qan = an ф- ?, где a, ?, p, #— данные числа, в случае если х = 1 не есть корень уравнения

x2-f~px 4-(7 = 0, является последовательность вида а*п = апф-Ъ\ найти а и Ь.

б) Если х=1—простой корень уравнения x2ф-pxф~q=^0i то частное решение может быть найдено в виде

Cfn = Ii (an -f- Ь)\ найти а и Ь.

в) Если X= 1 —двойной корень уравнения x2ф~pxф-q = 01 т. е. начальное уравнение имеет вид

ап+2 — 2ап+1 ф- ап = а -f ?, то частное решение может быть найдено в виде а* = д2(ая4~?); найти а и

г) Найти в каждом из трех указанных случаев общее решение данного уравнения (применить подстановку ап — Ьпф-ап).

В следующих задачах (№ 37—43) требуется найти общее решение, если не даны первые члены последовательности и частное решение в случае задания начальных условий.

37. ап+1 — аа — п-
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed