Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
ИНДУКЦИЯ
Метод полной индукции (доказательство от п к /г —I— 1) весьма распространен в практике математических доказательств. Однако в практике средней школы этот метод применяется все еще недостаточно широко, а между тем ряд доказательств получил бы при его использовании большую логическую стройность и законченность.
В отдельных случаях применение принципа полной индукции упрощает решение вопроса. Часто какую-либо формулу пишут по аналогии с тем, что получено, например, для п= 1 или п = 2\ такой вывод логически неполноценен, и для законченности рассуждений применение принципа полной индукции просто необходимо.
Цель настоящей главы — дать задачи на применение принципа полной индукции из различных разделов курса элементарной математики и тем способствовать более глубокому внедрению этого принципа в обиход математических доказательств на занятиях в средней школе.
Доказать методом полной индукции соотношение
1. (а\ + а\+ .. . +а„)(*ї + *і+ • • • + *;)-(«А + *2*з + • • • +.«AJ°>°.
где а19 а2ь .... CLn, bx, b2, bn — действительные числа.
2. ,Доказать, что
Tn (х) = cos (п arc cos х) *
(где п — целое положительное число) является целой рациональной функцией от X степени п.
3. Доказать методом полной индукции, что если X1 > 0, х2 > 0, . . ., Xn > О, если среди них есть хотя бы два различных числа и если
*i + *2+ +хп = а,
то
X1X2X3 . . . Xn < ^ .
4. Доказать, что п прямых, расположенных в одной плоскости, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, рассекают плоскость на
1 -|--—- частей.
б. Доказать, что если на плоскости проведено любое число произвольным образом расположенных прямых, то
t — l + p=\t
где t — число точек пересечения этих прямых, / — число кусков, на которые эти прямые делятся точками пересечения, а р — число кусков плоскостей, на которые эти прямые делят плоскость.
* on Tn (х) = -щ cos (п arc cos х) ~~так называемые полиномы П. Л. Чебышева.
Алгебра. Гл. XIII. ИНДУКЦИЯ
6. Члены последовательности чисел
A1, аг% а3 .. ., аа, ... удовлетворяют соотношению
а п — 1 п+1
и все они отличны от нуля. Доказать, что an = a1qn"1t где # =
7. Члены последовательности чисел
O1, fl2» o3> • • • . ...
удовлетворяют соотношению Доказать, что
^ = 01 + ^(*—1).
где
d — a2 — oi-
8. Доказать, что
18 + 2з + 33+ ... +n* = [n(n + l)J.
9. Доказать, что сумму четвертых степеней натурального ряда чисел от 1 до л можно представить в виде
14 + 24 + 34 + ... +n* = an* + bn* + cn* + dn2 + en+f.
Полагая здесь я = 1, 2.....найти a, b, с% dt е, /, а затем доказать формулу методом полной индукции. , 10. Доказать тождество
І.2.З + 2.3.4-Н ... + я(я + 1)(я + 2) = -уЯ(я + 1)(я + 2)(я + 3).
П, Доказать тождество
1,1,
І.2.3.4-5 1 2.3.4.5.6^ ' " ' ^ (я--1)я(я+1)(я + 2)(я + 3) —
= 1(_I___!_\
4 \ 1.2.3.4 я (я+1) (я+ 2) (я+ 3)7*
12. Дана последовательность чисел:
1, 1, 2, 3. 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.....
в которой первые два числа равны 1, а каждое следующее равно сумме двух непосредственно ему предшествующих. Доказать методом полной индукции, что число, стоящее на я-м месте, выражается формулой (Бинэ):
13. Доказать, что для любого выпуклого многогранника имеет место соотношение
В — Р + Г = 2,
где В — число его вершин, P — число ребер, Г—число граней.*
14. Доказать, что
I2 — 22 + 32 — ... +(— Iy-V = C-Iy1-1 .
* Это предложение называется теоремой Эйлера.
142
Алгебра. Гл. XIII. ИНДУКЦИЯ
15. Доказать, что
sin ях, где я— целое нечетное положительное число» есть целая рациональная функция от sin х.
16. Доказать, что если последовательность чисел
аи а2> A3.....ап, .
такова, что
A1 = 2, CZ2 = 3
и для всякого натурального числа k имеет место равенство то
ая=1+2\
17. Доказать, что
X . X (х—1)
1 —
1! 1 2!
j ( ці, *(*—!) ...(x-n+l)__^ ^n(X-I).. (х—п)
18. Доказать, что при любом натуральном числе я (и я = 0) число 11л+24-+ 122Л+1 делится на 133.
19. Доказать, что если в результате конечного числа рациональных действий, т. е. сложения, вычитания, умножения и деления, над комплексными числами
zu гъ Zn,
получается комплексное число а, то в результате тех же действий над числами
Z1, z2, ..., Zn,
сопряженными соответственно с числами 2t1, z2, z3, . .., zn, получится комплексное число и, сопряженное с числом и.
20. Доказать методом полной индукции формулу Муавра
(cos X + і sin х)п = cos rix + і sin rix,
где я— целое положительное число.
21. Доказать методом полной индукции неравенство
1,1,1
L- >Ул, где л > 1.
/1^/2^/3 '~ Vn
22. Доказать методом полной индукции неравенство
4* . (2л)! . ,
7Г+Г>(1^' где n>U
23. Доказать, что если л—целое положительное четное число, то
20я+16я — 3"—1
делится на 323.
Глава XIV
НЕОБХОДИМОСТЬ И ДОСТАТОЧНОСТЬ
Понятие необходимого признака (или условия) и понятие достаточного признака (или условия) являются важнейшими в формулировках многочисленных положений математики. Непонимание этих логических категорий приводит часто к тому, что и само утверждение теоремы и ее доказательство воспринимаются учащимися недостаточно глубоко. Разъясним на примерах, что такое необходимый и что такое достаточный признак (или условие) какого-нибудь положения.
