Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
е) O1 + ?2 + яз + .. • + an = anan +1;
ж) CLnUn+1 — an-2an-і = ^2/1-1"»
з) ял+іЯл+2 — алол+з = (— 1)л;
И) O1^2+^2O3+ O3O4 + • • • +02л-102/і = 02Л;
к) A1-Ог + Яз —<*4+ • • • ± ал= ± «л-1 + 1; л) ал+-ол+і—ол-1 = ^зл»
Ю CLn-un-2Un-l&n + lan+2 = I'»
H) #! + 02 + ^3+---+^==^+2-1;
о) (Cin+Qo — Cin) —- число целое;
п) последняя цифра числа аш (ft —целое) есть нуль;
р) число цифр ап больше п - 2 .
§ 3. Произвольные последовательности
При отыскании предела последовательности бывает часто полезной следующая теорема: всякая возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет предел; всякая убывающая последовательность, ограниченная снизу, имеет предел (см. ниже задачи 5, 9, ...); строгое доказательство этой теоремы дается в курсах математического анализа.
Найти предел последовательности, общий член которой:
«-('-i)(-4)-c-i)
__23__1 зз—1 Ф— 1 2 * а" ~~ 23 + Г З» + 1 • • • ф + 1 •
3. ал = (1+х)(1+*2)...(1+0.
где I л: |< 1.
4*. с =
VT V2+Y2 '"' ^2+V2 + ... +V^+W
и радикалов
6*.
У 2-V2 + V2 + ...+V2 + V2
у 2—V2+V2+...+V2+W
(в числителе и знаменателе п радикалов).
7. On=V а +Vа+ • • • +Va + Va
(п радикалов).
8**. Пусть а<&<0. Составляются две последовательности ап и Ьп по формулам
aA- bn „ 2a,ibп
§ 3. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
127
При этом U1 = U, ЪХ = Ъ. Доказать, что
Un-VanTn = /д — V^ У an + Va.nbn \a + Vab)
lim ап = Hm bn = /?^.
9. Доказать, что последовательность
X1 =| (0<fl< 1),
2
возрастает и ограничена сверху. Найти ее предел. 10. Найти предел последовательности:
а
"2 '
2
а
Х1
~2 ~
2
а
х\
~2~~
~~2~
где 0 < а < 1.
И*.Последовательность задана рекуррентным соотношением
где а>0 — данное положительное число, a — произвольное положительное число; таким образом,
Доказать, что эта последовательность имеет предел, равный У а, каково бы ни было начальное значение X0 (на этой теореме основан удобный, особенно на арифмометре, способ приближенного извлечения квадратных корней из чисел).
12. Доказать, что предел последовательности, общий член которой
— 1* + 2* + 3*+ ... + я*
равен ^-Lx.
128
Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
13. Последовательности определяются соотношениями:
«.(*»+2«)
б) ^+1- 2*„ + а ' где а > 0; д:0 > 0.
Доказать, что пределы обеих последовательностей существуют и рав-
з
ны у а.
14**. Пусть а и Ъ — два положительных числа, причем а < Ь. Построим по этим числам две последовательности, определяя их так:
O0 Z= a, b0 = Ъ\
и вообще,
вя+1 =?» + *«, On+1 = VlJn. Доказать, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Г л а в а X СУММИРОВАНИЕ
Пусть задана какая-нибудь элементарная функция /(х), а ср(х)—другая элементарная функция, связанная с функцией f (х) соотношением
/(х) = ср(х+А)-ср(х), (1)
где h — какое-нибудь число. Заменяя в этом равенстве х последовательно на х + А, х + 2А, x-\-nh, получим:
f(x 4-/*) = <р(х + 2A)-ср (X + А), (2)
/(X+ 2А) = ?(х+ ЗА) — ср(х + 2/г), (3)
/ (х+ nh) = 9 [X + (п + 1) А] — ср (X + яА), (п + 1).
Складывая почленно равенства (1), (2), (я+1), получим
/ (Х)4_/(Х + А) 4- / (х + 2А) + ... +/(X+/гА) = ср [X+(« + l)A]_cp(x).
Таким образом, задача отыскания сумм вида
/(х) + /(х + А)+/(х + 2А)+...+/(х+/гА),
где f (х) — элементарная функция, будет решена, если удастся подобрать такую элементарную функцию ср(х), которая с функцией /(х) связана равенством /(х) = ср(х +А) — <р(х). Не существует общего приема, по которому для заданной функции f (х) можно і найти «суммирующую функцию» ср(х).
В математической дисциплине, называемой теорией конечных разностей, дается формула (Эйлера) для суммирующей функции в виде суммы ряда (и то, конечно, при некоторых ограничениях на суммируемую функцию). По отношению к суммированию элементарных функций применение ее мало эффективно, так как упомянутый ряд имеет сложную структуру и исследование его сходимости, не просто. Поэтому обычно суммирующую функцию подбирают. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Рассмотрим тождество
cos ^x 4—— cos^x--= — 2sin X sin -|-;
здесь
cp(x) = cos (х — cp(x + A) = cos^x + -2^, /(х) = — 2sin X sin у.
Поэтому
/(x)+/(x + A) + /(x + 2A)+...+/(x + /zA) = = — 2 ли I [sin X + sin (х + А) + sin (х + 2A) + . . . + sin (х + nh) ] = =.ср[х + (/г + 1) А] — ср (x) = cos Jx — + (/г + I)AJ — cos ^x — "j) =
ft. (rt 4- I)A . Г h . (я+I)A] 0. (/г+I)A . / , nh\
= — 2sin -—sin ix — -3 + —— — 2sin v T> ; sin(X+ -^-1,
9 П< С. Моденов
130
Алгебра. Гл. X. СУММИРОВАНИЕ
и значит, если
sin-у Ф О,
то
sin X -|~ sin (х -f- A) ~f- sin (л: -f- 2A) + . . . -f- sin (х -j- л A) =
sin (п 4~ 1) A .
—i_J—і— sin
(* + т)
/г
sinT
Пример 2. Вычислим сумму
__1__.__1__, ,
5 ~X (X + A) (X + 2A) (X + Sh)^~ (х + К) (х + 2h) (х + ЗА) (х + 4A) ~h " ' '
^ (x + nh)[x + (n+\) A] [х + (п + 2) A] [X + (п + 3) A] ' Рассмотрим функцию
