Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
, _1_
? W ~ X (X + A) (X + 2K) '
Находим
<р(х + А) — cpW = 1 1 — За
— (х + А) (х + 2A) + ЗА) * (х + A) (х + 2A) х(х + А)(х + 2А)(х + ЗА)"
Отсюда следует, что
/(д)+/(л;+А)+/(х + 2А)+... + /(х + лА)== 1, 1
¦ЗА
-f A) (X + 2A) (X + ЗА) ' (х + А) (х + 2A) (х + ЗА) (х + 4A)
+ [Х + (П _ з) Л] [Х + (я 2) A] Ix + (л - 1) A] (X + nh) ~" ? [* (Я1 T (^) —
1 1
"~~ + (я + 1) Л] [-* + (я 4- 2) А] [х + (/Z + 3) А] X (х + А) (х + 2A)' значит, данная сумма
_ JL г_і____і_і
5 — ЗА L X (х + A) (X + 2A) [х + (п + 1) А] [х + (п + 2) А] [х + (п + 3) A]J '
Если последовательность ап — возвратная, то сумма ах -{- а2 ~\- а3 -f- . . . -\~ ап может быть легко вычислена.
Пример 3. Пусть ап — возвратная последовательность, для которой
ал+2 —3<7л+1 + ая = я.
Требуется вычислить сумму
s„ = fli + O2 + ai+ • • • +?-
зная, что
O1 = 1, а2 = 0.
Решение: полагая в данном соотношении л=1, 2, 3, я, получим:
аъ — За2 + #і =1, «4 — 3r3-f-a2 = 2,
Cn+2- Zan+1-^an = п\
Алгебра. Гл. X. СУММИРОВАНИЕ
складывая, получаем откуда
Sn = — а2 + ап+2 — 2ая+1 - ^_
/2(/2+1)
"2 ~г "Ti+а ^"-л+1--------
Частное решение уравнения
Я/і+2 —Зял.и + ал = я
есть
а„ = 1 — п;
полагая a„ = 4+?„, получим
bn+2 — Sbn+1 +?л = 0. Отсюда _ _
Так как O1 = ^1, a2 = b2 — 1 и O1=I, O1 = O, то Таким образом
Ь,=Ь2 = 1, и тогда C1 = -4= , C2 =--1=
t , і (з + Уь\п і /з—Yb\n
а потому окончательно
2 ^3+ /5 J1+1 ! 2 ^3-/5 у+1 я (я +Q
/5 V 2 / 1 yg-V 2 / 2
"5-1 /3J-/5 \я+1 , /6 + !/5 \ 2 / "Г" 2/5
Задачи
¦ п?-Зя + 2 , V 5-1 /3 + /5 \я+1 У" 5+1 (З —VsY+1 2 ^ 2/5 V 2 / -г 2/5 \ 2 J •
Вычислить следующие суммы: 1. 1 • П + 2-21 + 3-3! + ... + я-я!
2*. 1 - 2-3 + 2-3-4 + 3-4-5+...+(я — 2)(я— I)n.
3. 12 + 22 + 32+...+я2.
4. я+ 2*2+ 3*8+ . .. +(я— I)*»-1 + «*«.
5. 13 + 23 + 33+... + я3.
6. 1 — 22 + 32 — ... +(—і)»-іяг.
7. x + 22x2 + 32x3 + 42x*+.. .+я2*".
8. 1 • 2 + 2 • 3 • дг + 3 • 4 • X2+ . .. +я(я+I)X"-1.
9. 1* + 2* + 3*+...+д*.
10. Вычислить произведение
(1+2)(3 + 4 + 5)(6 + 7 + 8 + 9)..., состоящее из я множителей.
9*
132
Алгебра. Гл. X. СУММИРОВАНИЕ
И. Разобьем ряд натуральных чисел в грулпы:
1, (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10).....
Найти сумму чисел #-й группы. 12. Разобьем ряд натуральных чисел в группы:
1, (2, 3, 4), (5, 6, 7, 8, 9), (10, 11, 12, 13, 14, 15, 16),
найти сумму чисел n-u группы. 13*. Разобьем ряд натуральных чисел в группы:
1, (2, 4), (3, 5, 7), (6, 8, 10, 12), (9, 11, 13, 15, 17),
найти сумму чисел п-й групты.
14. Найти сумму парных произведений п натуральных чисел
[т. е. сумму: 1 • 2 + 1-3+ ... +1-^ + 2-3 + 2-4+ ... + 2/г + ... + + (/г—1)/г].
15. Вычислить:
а) 15 + 25 + 35 + ... +л»;
б) 1б+26 + 36+ ... + /г6;
в) 17-+.27 + 37+ ... + /г7.
16. Вычислить сумму парных произведений квадратов п натуральных чисел. Вычислить следующие суммы:
17. 1 • 1+2-3+3-5 + 4-7+ ... +/1(2/1—1).
18. 1 + 3 + 6 + 10+15+ ... +(1+2 + 3+ ... +/г).
19 i + -3+-^+-^+ 4~*^1
.20. 1+9 + 45+ 189+729+ ... + (2/г — 1)3*-1.
21. х + х2(1+х) + х3(1 + х + х2) + х4(1 + * + х2 + х3) +
+ ... +Jf(I + х + х2 + ... +Jf-1). 22**. Возвратная последовательность
#1, ^2, аг, ..., ап, ... определяется соотношением
ап — 2ап_х — 3ал_2 = 0. Выразить через ait а2 и х следующую сумму:
s = U1X + a2x2 + а3х3 + ... -\-апхп.
23**. Найти целую рациональную функцию /р(х), которая при X = O обращается в нуль и которая удовлетворяет тождеству
fp(x) — fp(x— 1) = *'. где р — целое положительное число или нуль, и доказать, что /,(я)= 1' + 2"-H"+ ... +пр (/о С*")— полиномы Бернулли).
Глава XI
КОМБИНАТОРИКА
Г. Найти число размещений из п предметов по г при условии, чтобы в каждое из размещений входило р назначенных предметов из данных. Сколько можно составить размещений из букв я, Ь, с, d, е и f по четыре с тем, чтобы буква а предшествовала букве Ь.
3. Сколько можно составить размещений из букв at Ь, с, d, et f по четыре:
а) содержащих а;
б) сколько из них начинается с а?
4. Ha плоскости дано п точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Найти число прямых, которые можно получить, соединяя точки попарно.
5*. Найти число точек пересечения- диагоналей выпуклого я-угольника, не считая вершин его и полагая, что нет совмещающихся точек пересечения.
6. Сколькими различными способами можно посадить 6 человек вокруг круглого стола?
7. На железнодорожной станции имеется п семафоров. Сколько может быть дано различных сигналов, если указателю каждого семафора можно дать три положения?
8. Через каждую из трех данных точек проведем по т прямых так, чтобы из них не было двух, параллельных между собой; и трех, встречающихся в одной точке. Найти число точек пересечения проведенных прямых.
9*. Дано т предметов одного сорта и п предметов другого сорта. Найти число групп, которые можно составить, беря г одного сорта и s другого сорта.
