Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
10. На плоскости дано п точек, из которых т лежат на одной прямой, а в числе остальных точек нет трех, лежащих на одной прямой. Найти число прямых, которые можно получить, соединяя эти точки попарно.
11. Дано в пространстве п точек (/г]>7), из которых т (т >- 3) лежат водной плоскости, а остальные п — т (п — т^>4) расположены так, что никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Сколько можно провести плоскостей так, чтобы каждая из них содержала по крайней мере три точки из числа заданных.
12. На плоскости дано п точек, из которых т лежат на одной прямой, а из остальных никакие три точки не лежат на одной прямой. Найти число треугольников, которые можно получить, соединяя точки по три.
13*. Имеется шесть шаров: 3 черных, 1 красный, 1 белый и 1 синий. Сколькими различными способами можно разложить их в ряд по четыре?
14. Дано п точек. Сколько можно построить многоугольников с т сторонами, где т</г, у которых вершины ..лежали бы в данных точках?
(2пУ
15*. Доказать, что 2п предметов можно разбить на п различных пар спо-
собами.
16. На плоскости даны три точки. Проведем через одну из них т прямых, через другую п прямых и через третью р прямых. Положив, что в числе
134
Алгебра. Гл. XI. КОМБИНАТОРИКА
этих прямых не находится трех, пересекающихся в одной точке, и двух, параллельных между собою; найти число треугольников, образованных пересечением проведенных прямых. 17**. Найти сумму всех возможных чисел, которые можно написать цифрами 1, 2, 3, 4 и в которых одна и та же цифра повторяется в каждом из чисел только один раз.
18**. Найти сумму всех пятизначных чисел, которые • можно написать цифрами 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8 и 9, в каждом из которых одна и та же цифра повторяется только один раз.
19**. Найти число всех делителей произведения 25 • 3 • 54 • 7 • 13.
20**. Сколько существует таких треугольников, у которых вершины будут вершинами многоугольника с п сторонами, но у которых стороны не совпадают со сторонами этого многоугольника?
2Г*. На каждой из и прямых поставлено по т точек так, что нельзя провести прямую через какие-либо три из этих точек. Сколько можно составить треугольников, соединяя данные точки?
22**. Сколькими способами можно представить натуральное число п в виде суммы трех слагаемых, каждое из которых есть также натуральное число (представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считать различными)?
23**. Каждый из людей, когда-либо живших на земле, сделал определенное число рукопожатий. Доказать, что число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, четно.
24*** Расставить на шахматной доске 24 шашки симметрично относительно главной диагонали так, чтобы на каждой горизонтали стояло по три шашки. Ставить шашки на главную диагональ воспрещается.
25. Какое максимальное число слонов одного цвета можно поставить на шахматной доске так, чтобы они не угрожали друг другу? Доказать, что число способов расстановки слонов есть квадрат некоторого числа.
26« На какое наибольшее число частей могут разделить плоскость
а) 15 прямых?
б) 4 окружности? 27. Решить уравнение
j___L — _L
гх гх гх *
ив
28**. Сколько делителей имеет число 22 • З3 • 44 • 55. Найти сумму всех делителей. 29**. Сколько и каких цифр понадобится для того, чтобы написать все числа от 1 до 10" включительно?
30. Из точки проведено п лучей. Сколько образовалось углов?
31. На окружности расположено п точек. Сколько существует различных многоугольников (не обязательно выпуклых), вписанных в эту окружность, вершинами которых служат данные точки.
32. Дано п предметов, расположенных в определенном порядке. Сколькими способами можно выбрать из них три предмета, при условии, что ни в одной комбинации нет двух предметов, стоящих рядом.
33. На шахматной доске расставлены две ладьи так, что они не могут бить одна другую. Сколькими способами может быть осуществлена такая расстановка?
34. На плоскости проведены т параллельных между собою прямых. Кроме того, на этой же плоскости проведены п прямых, не параллельных ни между собой, ни уже ранее проведенным. Ни одна из прямых не проходит через точку пересечения двух других прямых. На сколько областей делится плоскость проведенными прямыми?
35. Экскурсанты заказали 8 четырехместных кают на пароходе. Все места в каждой из кают и все каюты равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться в каютах, если их было всего 32 человека?
Алгебра. Гл. XI, КОМБИНАТОРИКА
135
36. Даны 12 точек, из которых 5 лежат на одной прямой. Кроме них, никакие три не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки (каждая прямая содержит не менее двух точек из числа данных)?
37. Даны 11 точек, из которых 5 лежат на одной окружности и никакие три точки не лежат на одной прямой. Кроме них» никакие 4 не лежат на одной окружности. Сколько окружностей можно провести через эти точки так, чтобы каждая проходила, по крайней мере, через 3 точки из числа заданных?
38. На плоскости дано 10 попарно пересекающихся прямых. Никакие три пря-' мые не проходят через одну точку. Сколько можно построить окружностей,
