Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 45

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 381 >> Следующая


31. Доказать, что если Ig kx, lgmx, IgnX образуют арифметическую прогрессию, то

32. Даны две прогрессии: арифметическая

и геометрическая

n* = {kn)Xgkm.

а9, а«

bit b2, b3, . . ., bn, ...,

причем все члены этих прогрессий положительны и обе прогрессии возрастающие. Кроме того, дано

U1 = O1 и а2 = Ь2.

Доказать, что все члены арифметической прогрессии, начиная с а3, меньше соответствующих членов геометрической прогрессии, т. е. что ап < On при всех п > 2.

33*. Доказать, что последовательность чисел

ах = cos X -f- / sin х, а2 = cos 2х -\- і sin 2xt

ап = cos nx -\~ I sin iix

есть геометрическая прогрессия. Найти знаменатель этой прогрессии. Пользуясь формулой для суммы п членов геометрической прогрессии, найти Sn и привести Sn к виду A~\~?l, где А п ? действительны. Найти отсюда выражения для сумм

А = cos X -j— cos 2х -j— ... -{-cos nx,

B = sin X -f-sin 2x + ••• -f-sin^x.

34. В некоторой арифметической прогрессии второй член является средним пропорциональным между первым и четвертым. Показать, что в этом случае шестой член будет средним пропорциональным между четвертым и девятым.

35. Определить три числа, образующих геометрическую прогрессию, если сумма

7

их равна 21, а сумма обратных величин равна .

36. Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию, зная, что их сумма равна 26, а сумма их квадратов равна 364.

§ I, АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ 11«

87; Определить знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии,

зная, что ее сумма вдвое больше суммы п первых членов. 38*. Доказать, что для всякой арифметической прогрессии

аи а2, аг, ..., ап, ...

имеют место равенства:

U1 — 2а2+-а3 = О,

U1 — За2 + За3 — а± = 0,

U1 — Aa2 +- Qa3 — 4я4 -f- аъ — О,

и вообще, при всяком п^>>2

O1 — С\а2 -+ С\а3 — ...+(— Xf"1 • С*"1 ап-\-(— \)п • C„flA+i = 0.

39*. Найти такую арифметическую прогрессию, чтобы между суммой ее первых X членов и суммой kx следующих за ними существовало постоянное отношение, не зависящее от х.

40. Доказать, что для двух прогрессий: геометрической

a, аи а2, а3, .. ., ап> ...

и арифметической

b, O1, Ьъ b3i .. ., bn, . . .,

для которых

?>0, -^-> 0, Ьх — ?>0,

существует такое число а, что \gaan— bn не зависит от п..

41. Какая зависимость должна существовать между р и q для того, чтобы уравнение x*+-px2-\-q = 0 имело четыре корня, образующих арифметическую прогрессию.

42. Найти арифметическую прогрессию, сумма п членов которой равна Ъп2-\-п.

43. Вычислить отношение сторон прямоугольного треугольника, зная, что его стороны составляют арифметическую прогрессию.

44*. Дана последовательность чисел

а0 = 0, O1-I, а2 = 3, а3 — 6, а4=10, а5=15, ... таких, что разности

а\ — ао~ 1» #2— #1 = 2, я3 — а2 = 3, а4 — я3 = 4, ... образуют ряд натуральных чисел. Найти сумму

^0 + ? + ? + ?+ ... -Мл.

45. Дано р арифметических прогрессий, каждая из которых содержит п членов. Их первые члены соответственно равны 1, 2, 3, . . ., р, а разности 1, 3, 5, 2р—І. Найти сумму членов всех прогрессий.

46. Дана арифметическая прогрессия

аи а2, а3, ап, где все ai > 0.

Доказать, что

_ 1 _ 1 _+ 4-_1

Va1 +Va2 Va2 +Va3 "' Van^+ Van Va1 +Van'

47. Найти сумму семи членов арифметической прогрессии, 6-й член которой равен —6, а сумма 2-го и 5-го членов равна 3.

48. Найти сумму шестнадцати членов арифметической прогрессии, если сумма четырех первых членов этой прогрессии равна —28, а сумма шести первых членов равна 58.

120

Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

49. Найти сумму восьми членов геометрической прогрессии, сумма 1-го и 4-го членов которой равна 18, а сумма 2-го и 3-го равна 12.

50. Найти сумму десяти членов арифметической прогрессии, 5-й член которой равен 9, а сумма 2-го и 9-го членов равна 20.

51. Найти сумму восьми членов арифметической прогрессии, для которой сумма первого и восьмого членов равна 25, а сумма 3-го и 5-го членов равна 19.

52. Доказать, что во всякой арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля, произведение двух членов, равноотстоящих от крайних членов, возрастает по мере удаления от концов к середине.

53. Рассмотрим арифметическую и геометрическую прогрессии, удовлетворяющие следующим условиям:

а) первые члены обеих прогрессий одинаковы;

б) сумма первых двух членов арифметической прогрессии превышает сумму первых двух членов геометрической на величину, равную утроенному первому члену арифметической прогрессии;

в) сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна сумме первых трех членов геометрической прогрессии.

Найти знаменатель геометрической прогрессии.

54. Решить уравнение

*34-*2 + 2* + a = 0,

зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию.

55. Решить уравнение

х3-\-х2 = ау

зная, что его корни образуют арифметическую прогрессию.

§ 2. Возвратные последовательности

Последовательность

аи а2, a3t ..., аПУ ... (1)
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed