Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
31. Доказать, что если Ig kx, lgmx, IgnX образуют арифметическую прогрессию, то
32. Даны две прогрессии: арифметическая
и геометрическая
n* = {kn)Xgkm.
а9, а«
bit b2, b3, . . ., bn, ...,
причем все члены этих прогрессий положительны и обе прогрессии возрастающие. Кроме того, дано
U1 = O1 и а2 = Ь2.
Доказать, что все члены арифметической прогрессии, начиная с а3, меньше соответствующих членов геометрической прогрессии, т. е. что ап < On при всех п > 2.
33*. Доказать, что последовательность чисел
ах = cos X -f- / sin х, а2 = cos 2х -\- і sin 2xt
ап = cos nx -\~ I sin iix
есть геометрическая прогрессия. Найти знаменатель этой прогрессии. Пользуясь формулой для суммы п членов геометрической прогрессии, найти Sn и привести Sn к виду A~\~?l, где А п ? действительны. Найти отсюда выражения для сумм
А = cos X -j— cos 2х -j— ... -{-cos nx,
B = sin X -f-sin 2x + ••• -f-sin^x.
34. В некоторой арифметической прогрессии второй член является средним пропорциональным между первым и четвертым. Показать, что в этом случае шестой член будет средним пропорциональным между четвертым и девятым.
35. Определить три числа, образующих геометрическую прогрессию, если сумма
7
их равна 21, а сумма обратных величин равна .
36. Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию, зная, что их сумма равна 26, а сумма их квадратов равна 364.
§ I, АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ 11«
87; Определить знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
зная, что ее сумма вдвое больше суммы п первых членов. 38*. Доказать, что для всякой арифметической прогрессии
аи а2, аг, ..., ап, ...
имеют место равенства:
U1 — 2а2+-а3 = О,
U1 — За2 + За3 — а± = 0,
U1 — Aa2 +- Qa3 — 4я4 -f- аъ — О,
и вообще, при всяком п^>>2
O1 — С\а2 -+ С\а3 — ...+(— Xf"1 • С*"1 ап-\-(— \)п • C„flA+i = 0.
39*. Найти такую арифметическую прогрессию, чтобы между суммой ее первых X членов и суммой kx следующих за ними существовало постоянное отношение, не зависящее от х.
40. Доказать, что для двух прогрессий: геометрической
a, аи а2, а3, .. ., ап> ...
и арифметической
b, O1, Ьъ b3i .. ., bn, . . .,
для которых
?>0, -^-> 0, Ьх — ?>0,
существует такое число а, что \gaan— bn не зависит от п..
41. Какая зависимость должна существовать между р и q для того, чтобы уравнение x*+-px2-\-q = 0 имело четыре корня, образующих арифметическую прогрессию.
42. Найти арифметическую прогрессию, сумма п членов которой равна Ъп2-\-п.
43. Вычислить отношение сторон прямоугольного треугольника, зная, что его стороны составляют арифметическую прогрессию.
44*. Дана последовательность чисел
а0 = 0, O1-I, а2 = 3, а3 — 6, а4=10, а5=15, ... таких, что разности
а\ — ао~ 1» #2— #1 = 2, я3 — а2 = 3, а4 — я3 = 4, ... образуют ряд натуральных чисел. Найти сумму
^0 + ? + ? + ?+ ... -Мл.
45. Дано р арифметических прогрессий, каждая из которых содержит п членов. Их первые члены соответственно равны 1, 2, 3, . . ., р, а разности 1, 3, 5, 2р—І. Найти сумму членов всех прогрессий.
46. Дана арифметическая прогрессия
аи а2, а3, ап, где все ai > 0.
Доказать, что
_ 1 _ 1 _+ 4-_1
Va1 +Va2 Va2 +Va3 "' Van^+ Van Va1 +Van'
47. Найти сумму семи членов арифметической прогрессии, 6-й член которой равен —6, а сумма 2-го и 5-го членов равна 3.
48. Найти сумму шестнадцати членов арифметической прогрессии, если сумма четырех первых членов этой прогрессии равна —28, а сумма шести первых членов равна 58.
120
Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
49. Найти сумму восьми членов геометрической прогрессии, сумма 1-го и 4-го членов которой равна 18, а сумма 2-го и 3-го равна 12.
50. Найти сумму десяти членов арифметической прогрессии, 5-й член которой равен 9, а сумма 2-го и 9-го членов равна 20.
51. Найти сумму восьми членов арифметической прогрессии, для которой сумма первого и восьмого членов равна 25, а сумма 3-го и 5-го членов равна 19.
52. Доказать, что во всякой арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля, произведение двух членов, равноотстоящих от крайних членов, возрастает по мере удаления от концов к середине.
53. Рассмотрим арифметическую и геометрическую прогрессии, удовлетворяющие следующим условиям:
а) первые члены обеих прогрессий одинаковы;
б) сумма первых двух членов арифметической прогрессии превышает сумму первых двух членов геометрической на величину, равную утроенному первому члену арифметической прогрессии;
в) сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна сумме первых трех членов геометрической прогрессии.
Найти знаменатель геометрической прогрессии.
54. Решить уравнение
*34-*2 + 2* + a = 0,
зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию.
55. Решить уравнение
х3-\-х2 = ау
зная, что его корни образуют арифметическую прогрессию.
§ 2. Возвратные последовательности
Последовательность
аи а2, a3t ..., аПУ ... (1)