Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Необходимым признаком какого-либо положения А* называется любое следствие из этого положения. Итак, если Л-»В (читается так: «из А следует В»), то В — необходимый признак А.
Достаточным признаком какого-либо положения А называется такое положение B1 из которого следует А. Итак, если А +- В (читается так: «из В следует А, или А следует из Б»)**, то В — достаточный признак Л.
Ниже эти два фундаментальных понятия разъясняются на примерах.
Пример 1. Необходимым признаком делимости (нацело) целого положительного чгсла на 4, является делимость (нацело) последней цифры этого числа на 2.
Высказанное положение надо понимать так: если целое положительное число делится на 4 (положение A)1 то последняя цифра этого числа делится (нацело) на 2 (положение В) — это, очевидно, верно.
Высказанный необходимый признак делимости на 4 не является достаточным, ибо если последняя цифра целого положительного числа делится на 2, то это число не обязательно разделится на 4.
Таким образом, положение «признак делимости целого положительного числа на 4 есть условие делимости последней цифры этого числа на 2» верно в том случае, если под словом «признак» понимать «необходимый признак», и неверно, если под словом «признак» понимать «достаточный признак».
Пример 2. Достаточным признаком делимости*** целого положительного числа на 4 (положение А) является следующий признак: число оканчивается двумя нулями (положение В).
Высказанное утверждение надо понимать так: если число оканчивается двумя нулями (положение B)1 то оно делится на 4 (положение Л), и это, очевидно, верно.
Вместе с тем указанный достаточный признак делимости целого числа на 4 не является необходимым, так как если целое положительное число делится на 4, то отсюда не следует, что оно оканчивается двумя нулями.
Положение «признаком делимости целого числа на 4 является то, что это число оканчивается двумя нулями» верно, если под словом «признак» понимать
* Буквой А мы, таким образом, обозначаем то или иное положение. ** Можно писать и так: В -> А (читается так: «Л следует из В> или «из В следует А»).
*** Здесь и везде в дальнейшем под словом «делимость» мы будем понимать делимость нацело, т. е. без остатка.
144 Алгебра. Гл. XIV. НЕОБХОДИМОСТЬ И ДОСТАТОЧНОСТЬ
«достаточный признак», и неверно, если под словом «признак» понимать «необходимый признак».
Пример 3. Необходимым и достаточным признаком делимости целого положительного числа на 4 является следующий признак: число, образуемое двумя последними цифрами рассматриваемого числа, делится на 4. Необходимость здесь заключается в том, что если целое положительное число делится на 4 (положение А), то число, образуемое его двумя последними цифрами, делится на 4 (следствие В).
Достаточность заключается в том, что если число, образуемое двумя последними цифрами, делится на 4, то и само число делится на 4.
Пример 4. Необходимым условием несовместности системы уравнений
аххф-Ьху = сх, а2хф-Ь2у = с2 является условие O1^2 — O2^1 = O.
Это надо понимать так: если данная система несовместна (положение А), то
ахЪ2 — a2bx = 0 (положение В).
Однако высказанное необходимое условие несовместимости не является достаточным.
H пример, для системы уравнений
X +уф-1 = 0, хф-уф- 1=0,
axb2 — а2Ьх = 1 • 1 — 1-1 = 0 (положение А), однако эта система совместна, так как, например, X = —1, ^y = O является решением.
Пример 5. Достаточным условием несовместимости системы уравнений
ахх ф- Ьх у = Cx, а2х ф- b2y = C2
является условие: O1 = O, ^1 = O, C1=^=O. Это надо понимать так: если ^1 = O, O1 = O, Ci=^O (положение В), то система уравнений
ахх ф- bxy = Cx, Ci2X ф- b2y = C2
несовместна (положение А). Это верно, так как если ах = 0, Ox = 0, C1=^O, то уже уравнение
ахх-\-Ьху = сх
не имеет ни одного решения.
Вместе с тем сформулированный достаточный признак несовместности системы вовсе не является необходимым, т. е. из несовместности системы
ахх-\-Ьху = сх,
а2х -f- b2y = C2
не следует, что ^1 = O1 ^1 = 0, Cx Ф 0. Например, система уравнений
X ф- у — 1, х~фу = 2
несовместна, однако, ах Ф 0, Ьх Ф 0.
Пример 6. Достаточным условием неопределенности системы уравнений
аххф- Ьху = сХ9 а2х ф- b2y + C2
является условие
#1 _ Ьг _ C1 *
а2 Ь2 C2
* Мы говорим «условие», а не <условия?, пен імая под «условием» совокупность двух равенств.
Алгебра. Гл. XIV. НЕОБХОДИМОСТЬ И ДОСТАТОЧНОСТЬ
145
Иначе говоря, если выполнены равенства
аг _ O1 _C1
а2 Ь2 с2
то данная система неопределенная, т. е. имеет бесконечное множество решений (докажите!).
Обратное, однако, неверно, т. е. условие
аг _ Ьг _C1 .
а2 t>2 с2 . г.
не является необходимым признаком неопределенности системы. Так, например, система уравнений
x-ir2y = 0, х + 2у = 0
неопределенная (имеет бесконечное множество решений); однако для этой системы соотношения
а\ ___ Ьх _ C1 а2 b2 C2
в целом не выполнены ^c1 = C2 = O, поэтому дробь не имеет смысла^.
