Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
38. ап+1 — ая = я, A1=I.
on я (л 4-1) !
§ 2. ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
123
40. ап+3 — 6ап + 2 + 11 ая f г — 6ап = — 24д2 — 4д — 8,
O1 = 4, O2-26, O3 =74.
41. «„+і — ал = Зл.
42. вя+2 + 2ял+1 —8яя = 27 . 5", O1 = —9, O2 = 45.
43. ая+2 + 2ая+1 — 8ол = 2л.
44. Дано уравнение
*я 4 з Ч- /юя+2 + <7«я+і + г ая = a?" (1)
(/?, г, а и ?— данные числа). Рассмотрим еще уравнение
л34-рх2 4-^4-^ = 0. (2)
Доказать, что если ? не есть корень уравнения (2), то уравнение (1) имеет частное решение вида
в* = Срл.
Если ?— простой корень уравнения (2), то уравнение (1) имеет частное решение вида
а*я =Слря.
Если ? —двойной корень уравнения (2), то уравнение (1) имеет частное решение вида
и, наконец, если ? — тройной корень уравнения (2), то уравнение (1) имеет частное решение вида ап = Cr?$n. 45*. Составить рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет общий член последовательности
ACOS(J-, 2X2cos 2[х, 3X3cos 3{J-, п\п cos n\i, ...
(X и |х — данные числа), и с помощью этого рекуррентного соотношения найти сумму
X cos [і 4-2X2COs 2{Jv 4-3X8COs За 4~ ... ~{~пХп cosn\i.
46**. Рассмотрим две последовательности:
U1, а2, сг3, . . ., ап, . . ., bv b2> b*.....Ьп.....
члены которых связаны соотношением
А =
*я-и = Л«Я+92*Я.
РіЯх РгЧг
ФО,
где P1, qu р2, q2 — данные числа (возможно и комплексные). Найти выражение через п для ап и Ъп, считая, что ах и Ъх заданы. Исследовать случай A = O. Рассмотреть числовые примеры:
а) аяи = —2яя4-4*я.
Ьп^-Ьап + 1Ьп, * = -10-
Клх = — «я+А-в) о„+1 = оя + 2?„,
?„+і = Зап + 6&„.
124
Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
47**. Даны две последовательности:
аи аг* аъ.....ап.....
bu bz, Ьг.....Ьп.....
члены которых связаны соотношениями
Ьп+і = Ргап+аФп*
где pl9 р2, Яи Яг — данные числа (возможно и комплексные), но такие, что I Pi I ~hl I < 1 и IЛ 1 + 1 ?21 < I- Доказать, что обе последовательности сходятся к нулю.
48. Доказать, что если задано п последовательностей, члены которых связаны, соотношениями
я*+і = А^ + АА + Рз^ + ••• +Pnfk> fk+i = siak + s2pk + Sbck + • • • + Snfk>
причем
ІЛІ + ІЛІ+ІЛІ+ •-• +\Pn\< 1.
kil+lftl+lftl+ +kJ<i. 1?! + !?! + !?!+ .-. +I*«l<i.
то все эти последовательности сходятся к нулю. 49**. Найти необходимое и достаточное условие, при котором последовательности
аи аъ я3, ..ап, ..
Ьи Ь2, Ъъ.....Ъп% ....
члены которых связаны соотношениями
an+l = Plan + <llbn> Ьп+1 = Р2ап + Я20п>
сходятся к нулю, каковы бы ни были их первые члены U1 и Ъх. 50*. Пусть дана линейная система двух уравнений с двумя неизвестными:
ахх + ^1Jz+ c1 = 0,
а2х Ъ2у + c2 = 0, (1)
причем ахЪ2 — а2Ъх Ф 0 (в этом случае она имеет решение и притом только одно). Перепишем эту систему в виде
x = (al+l)x + b1y-\-cl, у= о2лг4-(?4- + c2
и рассмотрим две последовательности: Xn и уп, первые члены которых произвольны и которые связаны соотношениями
Xn+1 = (? + 1) хп + btya + C1, уп+1 = O2Xn + (ft2 + 1) уп + C2.
Доказать, что если Ia1+ 1| + |*і|<1 и | я21 +1 #2 + 1 I < 1 > то обе эти последовательности сходятся к решению х = х0, у — у0 данной системы (1).
§ 2. ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
125
61*. Показать, что если дана система п уравнений с п неизвестными: P1X + р2у + P3Z+-...+/»„* + Z1 = О, Ч\* + ЧгУ + Ч3г + ¦ ¦. + Я J + «i = °.
«1*-И*у+*2*+ • • • + V+*i = o.
причем известно, что она имеет единственное решение х = х0, у = у0, Z = Z.....t = t0
' |ft+l| + [ftl + \Pz\+---+\Pn\< 1.
kil+k2 4-H+l?sl+...+k„l< і.
Ы+Ы+1*>1 + ... +|*я + і|< і.
то это решение может быть приближенно, но с любой степенью точности
найдено так: берем любые значения х = хи у = уи Z = Z1.....t = tx
и составим п последовательностей, первые члены которых X1, ух, Z1, ..., tx и которые связаны соотношениями:
Xk+i = (Pi + 1) хк + АЛ -+-/% + • • • 4 Pnh+h* Ук+і = Qixk + (ft +1) л + ЯъЧ + • • ¦ + ? А 4 ^1,
4-м = S1** 4 s2yk 4 ^3? 4 ... 4 (Sn + 1) *я + A1;
тогда эти последовательности будут сходиться соответственно к х0, у0, z0) ...J0, т. е. к решению данной системы. 62*. Члены двух последовательностей связаны соотношениями
an+i = an — 2Ьп,
bn+i = 2an-\-bn.
Найти общее решение. 53*. Члены двух последовательностей связаны соотношениями
ап+1 = Ьп-\-5,
Ьп + 1 = —ап-\-Ъ.
Найти общее решение. 54**. Построить общую теорию решения системы рекуррентных соотношений:
an+i = piaa-\-qlbn-\-ricnt
ЬпЛ-1 = Р2ап 4 Qibn 4 ггсп, Сп + 1 = Ръ^п 4 ЧФп 4 гьсп. 55. Последовательность чисел
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ап.....
два первых члена которой равны 1, а каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:
ап+2 —апап, называется «рядом» Фибоначчи. Доказать, что
а) ап^^і^~Ч^Ї~ (^2^) J (ф0рмула Бинэ);
б) O1 + fl34 ••• +^2/1 + 1 = 02/1+2",
В) 1 + а2 + o4 + * - * + а2п — ?2rt+i;
126
Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
г) ап— ал_іал+і = (—1)
\ 2 і 2 і 2 і і 2
