Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
U|<1, { (D)
X (а — сх) 4- я (1 — X2) >0.
Исследуем систему (А): если а = с, то она не имеет решений; если а ф с, то уравнение, входящее в систему (А), имеет решение X=-—. Это значение х будет
Ответы. § 11. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
495
корнем данного уравнения, если
Ь —а
1 и если
а — с\ а —с J L (а — с)2]
если же хотя бы одно из этих неравенств не выполнено, система (А) не имеет решений. Система (В) не имеет решения в случае а = с. Если а Ф с, то из уравнения системы (В) находим х = а ; это значение х будет корнем данного уравнения, если
афЬ
л афЪ ( афЬ\ T1 (а ф Ь)2 Tn < 1 и ^ [а —с ^ \ — а\\— ; ^ ' >0; с — а\ с — a) L (с — a)2 J
если же не выполнено хотя бы одно из этих неравенств, система (В) не имеет решений. Система (С) не имеет решений, если а = —с. Если же а Ф—с, то
афс
будет решением данного уравнения, при условии, что
афс
< 1 и
афс У " афс J 1 "L' (я + с)2 Если не выполнено хотя бы одно из этих соотношений, то система (С) не имеет решений. Система (D) несовместна, если афс = 0; если же афсфО, то х = а ~t" ^
будет решением данного уравнения, при условии, что афЪ (п „афЪ\ , лГі (я +^)2
(а + с)2
афс [>0.
< 1 и
Если не выполнено хотя бы одно из этих неравенств, система (D) не имеет решений. Исследуем систему (II). Исследование этой системы приводит, аналогично предыдущему, к исследованию следующих систем:
• сх ф ах = bt \х\> 1,
]
— X (а—сх) фа (1 — X2) >0; j а — сх ф ах = — b, ^
¦*|>1,
¦х(а — сх)фа(\—х2)^0; j
]
¦сх — ах — Ь, Ul > 1.
— х(а — сх) — а(1—хг)^>0; j
] }
a(l—x2)>0. J
а — сх — ах = —
|*| >1. ¦ X (а — сх)-
(A')
(B')
(С)
(D')
Система (A') имеет решение х ¦¦
¦ а
только в случае
афс,
Ь — а I Ь — а\ . T1 (Ь — a)2l п
> 1,--[а —с-)фа\1 —)-^ >0.
а — с\ а — с/1 L (л — C)2J
Система (B') имеет решение х = а только в случае
афс,
афЬ
с — а \ с — а){ L (с —я)2 J
Система (С) имеет решение х = Д . ^ только в случае
а + с ф 0,
д — 6
афс а — Ь
a — b a — b\ T1 (а —6)21
> і--— д—-с—j—) — а\ 1 —)—j—>0.
а + с \ а+ с/ L (а+ с)2 J
496 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Наконец, система (D') имеет решение * = ^ ^ ^ только в случае
/л u+M т a + b / а+Ъ\ T1 (a-f?)2i д + с=?0, —— > 1,---— а — с——— ? 1 — ; 7 v. > Q-
Данное уравнение имеет, таким образом, не более четырех корней: ———, а ^ ,
CL ~~~ С С — Cl
а — Ь а + Ь л
—t —_L-— t при этом первое число будет корнем, если оно является реше-
Cl +* С CL +- С
нием или системы (А), или системы (A'), второе число будет корнем данного уравнения, если оно является или решением системы (В), или (B') и т. д. 40. Возвести обе части уравнения в квадрат; X1 = 0; в случае Ь2 > с2 уравнение имеет еще а с2_Ь2
корень X2 = -g- с2 • в случае Ь2 < с2 это значение х не является корнем дан-
4 __ 4 _ 4 _ 4 _
ного уравнения. 41. У к а з а н и е: Yх = Y0 Ya — х = Yu v\ отсюда и + v = 1, ц4 + ^4= 4г и v!>0. Ответ: если то корней нет. Если тг<Д<6,
то уравнение имеет два корня: Ar1 = 6 I •^- + у |/ —~--— I * X2 =
\ 2"— ^ г —--T / ; ЄСЛИ а > 10 УРавнение имеет только один корень
X = хх. 42. Если а > 6, то л: = 6; если а < 6, то л: = а. 43. Если а = 6, то уравнение обращается в тождество. Если а Ф b н об < 0, то уравнение не имеет корней. Если а Ф 6, а < 0, b < 0, то уравнение имеет корни х = 0, л- = /яб; если аф Ь, а > 0, 6 > 0, то корни уравнения л* = О ил' = — /аб. 44. Если а — Ь < 0, то уравнение не имеет корней. Если а — b > 0, то уравнение имеет корень х = —~^- .
§ 12. Системы, содержащие иррациональные уравнения
1. (4, 9), (9, 4, 2.(1,8), (8,1). 3. (?, , , >§). 4.(|,24), (з, |).
5. (5, 3), [- ]/" § (VT0~9 + 3), - |/~|- (/Ш - 3)] . 6. (4, 4). 7. (10 + /99, 10 —/99), (16, 4), (10-/99, 10+/99), (4, 16). 8. (3, 4), (0, —11). 9. Положить
3 _ 5___
у = kx. Ответ: (8, 1), (8, —1), (—8, 1), (—8. —1). 10. Положить /* + у = /* + 9у = а и т. д. Ответ: (0, 0), (5, 3), (-5, -3), , — , (--°, ~д). 11. (18, 8).
12. ]/"-±--^ = а, |/~---^- =u и т. д. Ответ: (5, 3). 13. (О, 0), (4, 3). 14. (8, 27),
(8, —27), (—8, 27), (—8, —27). 15. (81, 16), (16, 81), (—81, —16), (—16, —81). 16. Из уравнения 5х — 4 = 25у2 следует, что х > 0, а потому первое уравнение можно
переписать в виде (Yx — 9у2 — 4у Yx)2 == 0. Ответ: (і, j . 17.(8, 4),(152-64/6,
лслГг\ ю /к Q4 /25 —/Ї9968 21 25 —/Ї9968\ 1П v 40— 16 у b). 18. (5, 3), у-~——'•""29——й-Г Указание. Из
первого уравнения находим /л:2— 12у +1 = 4, откуда х2 — 12у = 15; второе урав-
X2 1 /"* Tic Г \ X 1 нение (у Ф 0) можно переписать так: -щ^ — 2у г ^ (Зу Т/ ^ Зу 4" " НЛИ
