Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
'~\ґ(і+і+т-7+і+т-т+№+і-тї
"7(i+J+f)B+l4)(i-^)(iH4-J)'
Если же хотя бы одно из неравенств (II) не выполнено, то система не имеет решений. 10. Если X = 0, то у = z = 0; если у = 0, то х = z = 0; если z = 0, то х = у = 0; таким образом, система имеет решение (0, 0, 0), и для всякого другого решения (х, У. <?) будем иметь X Ф 0, у 0, z Ф 0. Будем искать только такие решения. Если (л:, у, -г) решение такое, что х Ф O1 у ф O1 z Ф 0, то должно быть yz > 0, zx > 0, л:у > 0, X + z > у, у + <г > л\ х -f- у > Z1 откуда следует, что х > O1 у > 0, z > 0 и значит X1 у, г можно рассматривать как длины сторон треугольника. Отсюда также следует, что данная система не имеет никаких решений, кроме (0, 0, 0), если хотя бы одно из чисел а, Ь, с отрицательно или равно 0. Пусть а > 0, b > 0, с > 0. Полагая х + у + z = 2р, можно данную систему записать в виде
ABC 2а sin ~2 ^=Xy 2^ sin ~2 = У« 2с sin у = Но л: = 2/? sin Л, у = 2R sin ?, z^=2R sin С,
где — радиус описанного круга; значит,
2а sin у = 2/? sin Л, 26 sin у = 2/? sin ?, 2c sin ~- = 2R sin C,
Отсюда
A D B , _ C
/? cos у = а, K cos у = 0, /? cos -у = с.
6 cos у — a cos ~2" " 0, с cos ~2--a cos у = 0,
АСА А + В
ccos-JT--a cos —рг- = с cos --a sin- —
2 2 — 2 — 2 —
Л Л В А В л
= с cos у--а sin у cos ~2--a cos у sin у = 0;
J3 6 Л Л л л л в
но cos у = — cos у . Следовательно, с cos у--6 cos у sin у —a cos у sin у = 0,
и так как cos у O1 то # sin у + asm -у = с. Отсюда и из уравнения b cos ~—
• a cos у = 0 находим
I b sin -у + asm у j -Mo cos у — a cos у j = с2 а2 _|_ ^2 _ 2ao cos Л + В == с2, а2 + Ь2 — 2ab sin ~ = с2,
sin -Ts- =
2 2а&
fl2 _|_ Ь2 — С2 д
и значит z = c-~г—г-. Аналогично находим
lab
_ д (&2 -|- с2 — л2) _ b (с2 + a2 — б2) *~~ 26с ' У Wc *
Таким образом, данная система не имеет решения, отличного от (0, 0, 0), если хотя бы одно из чисел а2 + Ь2 — с2, b2 + с2 — а2, с2 + а2 — Ь2 отрицательно или равно 0. Если же 62-f с2 — а2 > 0, с2 + а2 — Ь2 > 0, а2 Л¦-Ь2 —-с2>01 то, кроме
'п m /я (^2 J-с2 — а2) 6 (с2~-а2—62) с(а2 + 62—-с2)\ (С 0, 0), система имеет еще решение ( —— ^-> —--> ~—j^r--~)'»
Ответы. § 14. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
509
это необходимо еще проверить подстановкой, так как нами здесь значения для х, у и z получены как следствие из данной системы. 11. Если а = 0, то система имеет решение (0, 0); если а Ф 0, то система не имеет решений. 12. Если а < 0, то си-
//Ї53—П
стема не имеет решении; если а > 0, то система имеет одно решение ---^-а,
із —УШ \
-"8--V-
13. Указа н и е.
-Uy-у /*2- у2) = J-(fx + у- Yx-у)2
и далее умножить обе части первого уравнения на Yx + у — Yx — у. Ответ: если / л , , f ^ ч л г У 4а ^ _
Ь > 0, b -j----—>0, о--g— >0, то система имеет решение
б8 12 /20 + 4а /їг /И /їа + 4а
\Ш ' 4Ь2
га і * V 4а , /4а л
если же или t? < U, пли о 4--:— < 0, или 6---.— < 0, то система не имеет
'o b
решений 14.
(p + Ylbt (J^=Vl*. ЇІі^1в).
15. Если а < 0, то система не имеет решений; если а>0,то система имеет два решения:
(a2 — b2 a2 -f- б2 ± /а4 — 6а262 +Ь*\ \ а 2а /
§ 14. Иррациональные неравенства
1. Область определения функции /25 — х2 + Y*2 + 7л: определяется условиями 25 — X2 > 0, X2 + 7а: > 0, откуда 0 <; л: <; 5. Данное неравенство
/25 — a2 + /A2T7* > З (і)
эквивалентно следующему:
(/2T-T2 + /^"+7A)2 > 9. (2)
В самом деле, если выполнено неравенство (1), то в левой части этого неравенства будет стоять положительное число; значит, квадрат этого положительного числа будет больше 9, т. е. будет выполнено неравенство (2). Обратно: если выполнено неравенство (2), то, замечая, что /25 — х2 -(- /а2 + 7л: — число положительное (считаем, что 0-<л:<;5 и для каждого радикала берем положительное значение), после извлечения корня получим неравенство (1). Упрощая неравенство (2), получим: 25—л:2 + 2 /25=Т2 /л^+Тг + л:2 + 7л: > 9, или 2 /25 — л:2 УТх~+~х2 > — — 16 — 7х. Если 0 < X < 5, то — 16 — 7л: < 0, а так как 2 /25 — л:2 /л:2 + 7л: > 0, то последнее неравенство, эквивалентное данному, будет выполнено при всех х таких, что 0<а<5. Но так как 0 ¦< л: <! 5 есть область определения функции, стоящей в левой части данного неравенства (1), то сегмент [0, 5] и дает все решения неравенства (1). 2. Пусть выполнено данное неравенство (1), тогда /(лт-f 2) (л:—5) есть действительное число, а потому (х +- 2) (л- — 5) > 0, откуда х •< — 2 или х > 5. Кроме того, число /(л* -f 2) (л: — 5) положительное или равно нулю (так как для квадратного радикала из положительного числа мы берем лишь положительное значение), а так как 8 — х > } (х { 2) (х — 5), то и число 8 — х > 0, откуда х < 8. Значит, если выполнено неравенство (1), то х — 2 или 5 <; х < 8. Кроме того, из неравенства (1) следует, что (х -f- 2) (л: — 5) < (8 — х)2, так как если неравенство (1) выполнено, го Y(x ~г -) (Л ~~ 5) > 0 и 8 — х > 0. Итак, из данного неравенства '_ следует, чіо X <; — 2 или 5 < х < 8 и (х f 2) (л* — 5) < (8 — л-)2. Обратно: если выполнены неравенства (х +- 2) (л: — 5) < (8 — л')2, л ^ — 2 (2') или неравенства
