Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
I1I1I л Г */ be (Ь + с) . ,V ас (а + с)
_ + _ + _<<), решение [~ау Тьс+са + —ш -by WT7_
*Г ab (a + b) . , . л I1I1In cl/ -—+—-4—+^ . Если я + b + с = 0, но--г у- 4--> 0, то решении нет.
-Г (&С + Со + об)2 J <2 г
Если а + Ь + с ф 0, - аЬиС , > 0, g* + *с + j? < 0 и (&с + ся+^)2>4я6с (а-f A4-с), ^ 4~ ^ + с <2 4~ & + с
то решения
[tWT^l І^ЦГ+5), 1^ЦЇ+7)1 (1)
где X—-любое из двух положительных чисел:
X — + сл + - V(^c + со 4- ^*)2 — 4abc (а + b + с) ~~ 27^+H7O '
Если a + b + с Ф0,--.——< 0,--ф—г-~- > 0, то одно решение (1), где
1 а ф b ф с а + о + с ґ
А — действительное число, определяемое соотношением
— (Ьс ф eg 4- ab) ф Y(bc~+~ca + ab)2 — Aabc (a + b + c) 2(a+b + c)
, t . ,4 abc л be + са + ab Если а + ЬА-сфО, —г--j—.— < 0,--ф-т—,-< 0, то решении нет. Если
1 1 а + b + с а + b + с
. г . /л abc „ be + са + ab л „ ...
а + b + с Ф 0, —т—7----> 0,---ф~-ф~— > о, то решении нет. 9. Из данных урав-
1 ' 7 fl + /i-f с a + b + с ^ •7^
нений следует, что для всякого решения (дг, у, z) будем иметь X > 0, у > 0, Z > 0.
В самом деле, .v как сумма двух неотрицательных чисел Уz2 — а2 и YУ2 — а2 не
может быть <. 0. Если же х = 0, то из второго уравнения: у = Y—b2 + Yz* — ^2»
506 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
что возможно лишь при b = О, а нам дано, что b > 0. Данная система эквивалентна, таким образом, следующей системе:
х2 = z2 + у2 — 2а2 + 2 YW11^^11^. у2 = д;2 + z2 — 2Ь2 + 2 V(S2 — б2) (г2 — б2) , г2 = л2 + у2 — 2с2 + 2 V(F-^c2) (у2 — с2) , л: > 0, у > 0, -г > 0,
или следующей:
(Л-2 21 _ у2 _|_ 2^2)2 = 4 (г2 Л2) (уг fl2)f
(у2 X2 — г2 + 262)2 = 4 (х2 — б2) (z2 — б2), (*2 _ X2 — у2 + 2с2)2 = 4 (л:2 — с2) (у2 — с2), ;с2 — z2 — у2 + 2а2 > 0, у2 — л:2 — г2 + 2Ь2 >0, г2 —л:2—У +2с2 >0, г2 > а2, у2 > а2, л:2 > б2, г2 > б2, х2 > с2, у2 > с2, X > 0, у > 0, г > О,
или после преобразований первых трех уравнений:
Aa2X2 = (x + y + z)(-x + y + z)(x — y + z)(x + y-z), 4Ь2у* = (х + у + г) (-x+y + z) (х-у+ Z) (X + у-z), 4с»**=(* + у + *) (-x + y + z) (х-у+ z) (x + y-zl
je2 —г2 —у2 + 2<г2>0,
у2 — X2 — z2 + 2b2 > О
z2 — X2 — у2 + 2с2 > О, *2>л2, у2>а2, X2^b2, Z2^b2, х2 > с2, у2>с2,
je > 0, у > 0, * > 0.
Обозначая (х + у + z) (— х + у + z) (х — у + z) (х + у — z) через 16s2 (s > 0) и учитывая, что а > 0, b > 0, с > 0, х > 0, у > 0, z > 0, получаем:
ял: = 6у = = 2s,
X2 — z2— у2+ 2а2 >0,
>,2_x2__^2 + 262>0, (1)
г2 —л-2 —у2 + 2с2>0, г2 > а2, у2 > л2, > б2, г2 > б2, X2 > с2, у2 > с2, л: > 0, у > 0, z > 0.
Из уравнений а* = бу = cz = 2s находим:
_*+,+,-&(-!+!+!).
,-y + , = 2s(i-j+i), *+j,_* = 2S(l + -i—L).
Ответы. § 13. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРАМИ 507
Обратно: из этих соотношений следует, что ах = by = cz = 2s. Таким образом данная система эквивалентна следующей:
,-, + , = 2,(1-1 + 1),
х + у-
x2 — z2 — y2 + 2a2^0, y2 — x2 — z2 + 2b2^0, z2 — x2 — y2 + 2c2>0, z2 > а2, у2 > а2, x2 > b2, z2 > Ь2, х2 > с2, у2 > с2, X > 0, у > 0, г > 0.
Если (х, у, z) — решение данной системы, то из данной системы очевидна, что
x < у + z, у < z + х} z < x + у, а потому должно быть еще: ~ + — < -,
оса
1.111.1In
~с~^"~а < 'b 9 "я"' T T' Перемножая первые четыре уравнения последней системы, находим:
16,,16,(і+і+і)(_і+}+і)(і_>+і)(і+
1_1 Ь с
откуда ^
V^(i + y + 7)(~i + T + {)(i~y + 2s 25 2s
Теперь находим: х = —9 У =-у, z'= ~ • Остается проверить выполнение всех
условий последней смешанной системы. Это сделать проще всего геометрически.
" 11,111,111,1,
Пусть выполнены неравенства: - <т^--, -г <-----, — <--Ь т (если не
J r abcbcaca'b
выполнено хотя бы одно из этих неравенств, система не имеет решений), тогда будут выполнены и неравенства х < у + z, у < z + х, z < х + у, а так как х > О, у > 0, z > 0, то x1 у, z можно рассматривать как длины сторон треугольника, s — ег0 площадь, a a, b и с — высоты. Условие х2 — z2 — у2 + 2а2 > 0 означает, что основание высоты лежит на стороне х (а не на ее продолжении), так как у22 — а2 и Yy2 — а2 — эт0 отрезки, на которые высота а делит сторону х, и если основание высоты а лежит вне стороны х, то х равен разности этих радикалов X = ± (У"z2 — а2 — Yy2 — а2)> откуда х2 < z2 — а2 + у2 — а2. Аналогично условия у2 — х2 — z2 _|_262>0, z2 — x2 — у2-[-2с2>0 означают, что основания высот b и с лежат на сторонах у и z. Отсюда следует, что треугольник со сторонами x1 у, z не тупоугольный. Легко видеть, что для такого треугольника все условия смешанной системы (I) будут выполнены. Итак, если
1 1,11 lrll^l.1 1^1. 11^1л-1 1^Ij-I Il < T + с ' Ь < с + а ' с a ^ Ь ' а' < Ь2~^ с2' b2 < с2 1 а2' с2 a2 ^ Ь2'
(H)
то система имеет единственное решение:
1
5G8 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
