Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 225

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 219 220 221 222 223 224 < 225 > 226 227 228 229 230 231 .. 381 >> Следующая


Г у2 + х у __у2 /"~4Х~ .

V . \х j у'JtITx- ~ 4 V у2+ Xі {Г)

заменяется не эквивалентным уравнением

В самом деле, для последнего уравнения (G), числа х = 0, у = 0 образуют решение, а для первого уравнения (F) эта пара чисел не является решением. Таким образом, в цитированном выше решении автор заменяет первое уравнение системы ему неэквивалентным и второе уравнение системы тоже. Неудивительно, что в результате приходится производить проверкой отбор решений. Автор приводит ответ: X = 4, у = 2. Эта пара чисел есть решение данной системы, что может быть установлено проверкой. Но где гарантия того, что это есть единственное решение? Метод автора, конечно, не может дать ответа на этот вопрос: ведь автор заменил данную систему уравнений несколькими системами, совокупность которых не эквивалентна данной системе, а потому среди решений данной системы часть могла и не попасть в число решений совокупности систем (I) и (II). Таким образом, при решении системы «произвольными манипуляциями) мы можем лишь в итоге установить проверкой появление посторонних решений, но не всегда можем установить, есть утерянные решения или нет. Покажем, как можно изменить рассуждения для того, чтобы быть уверенным в том, что в итоге не будут утеряны решения и не появятся посторонние решения. Прежде всего отметим, что если какое-нибудь уравнение системы заменить уравнением, ему эквивалентным, то получим новую систему, эквивалентную данной. Поэтому будем, как это делает и сам автор, преобразовывать отдельно каждое из уравнений системы, учитывая, однако, возможные нарушения эквивалентности. Уравнение

..9 / ТТ.

(1)

эквивалентно такому

Гу2 + х I Гу2 + х у \_у2 Г_4х_ /~у_Ч:х

V , Ax [V 4х +уу4^ j~4 К У2+ X V U

(2)

32*

5(JO Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

у2 i X у у2

или -—т~~—I—= -г (3). В самом деле, если выполнено равенство (1), то Ax у 4Х 4

у2 -f л: > 0, X > 0; значит, будет выполнено и равенство (2), а значит — и равенство (3). Обратно, если выполнено рьвенство (3), то х > 0, а тогда и у2 + х > 0; значит, будет выполнено равенство (2), а значит, — и (1). Итак, уравнения (1) и (3)

у2 у Iy2

эквивалентны. Далее, уравнение (3) перепишем так: -j- + -j = (3'), или \2fx^ 2) 4 2У* 2 2 W

Совокупность двух уравнений (4) эквивалентна уравнению (3"), или (3), так как, если выполнено равенство (3), то будет выполнено одно из равенств (4), и обратно,

У і * У У і 1 У

21

будет выполнено и равенство (3") или (3'), или (3). Теперь перепишем уравнение (4) так:

если выполнено одно из равенств (4): —~z + + = v~ или —+ + = —ft ,

-7=- + 1= ±У. (4')

или

отсюда

v

(4")

V X =-fr— . (5)

— 1 ± у w

Это уравнение не эквивалентно уравнению (4"), но, если к нему добавить условие х Ф O1 то эквивалентность будет восстановлена. Итак, совокупность смешанных систем

i л' =---- 1 X =---•

-1-1-у и -1-у (6)

хфО хфО

эквивалентна уравнению (4"), следовательно, и исходному уравнению. В самом деле, если выполнено равенство (4"), то х Ф 0 и из (4") следует у = У х (— 1 + у), или у = Ух(—1 — у). В первом случае у ф 1, во втором случае уФ—1 (если предположить, что в случае у = Ух (—•1 4 у), У ~ 1» то получим у = 0, а это противоречит условию; аналогично доказывается, что во втором случае уФ—1),

а потому у X = —[ jp-y или V л' = —р—у • Обратно, если выполнена одна из смешанных систем (6), то будет выполнено и одно из уравнений (4"). Далее, первая из смешанных систем (6) эквивалентна следующей:

X > 0, —у—, > 0, (7')

У — 1

а вторая — следующей:

- = (-/іГі)2.->0.^>0. (7")

В самом деле, если (в поле действительных чисел') выполнены условия

Yx = } X Ф 0, то будут выполнены и равенства (7'); обратно: из условий (7')

— 1 -f- у

у— v

следуют соотношения ух = —f~JTy > х Ф Аналогично доказывается эквивалентность смешанной системы Yx = —р—хфО и системы (J"). Итак, первое из

уравнений данной системы эквивалентно совокупности двух смешанных систем: (J') и (J"), в том смысле, что любое решение одного только первого уравнения данной системы является решением одной из систем (7') или (J"); обратно, всякое решение любой из смешанных систем (7') или (J") является решением первого урав-

Ответы. § 12. СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 501

нения данной системы. Преобразуем теперь второе уравнение данной системы Yx ф Yх — У — 1 = (У + 1) (Vх — Y х — У — 1) следующим образом:

X ф Yх — у - 1 = у Yх + Y х — У Yх — У — * — Yx — у — T,

или

(у + 2) Ух-у-1 = у V^. (8)

Итак, второе уравнение данной системы эквивалентно уравнению (8). Таким образом, данная система эквивалентна совокупности двух смешанных систем:

X = (--I-;-)2, X > 0, —^7- > 0, Vy-W > • - 1 ^ {Су)

(у 4. 2) 1 ~х~^У^П. = у/л'

л- = (—1--)2, л > 0, -У—т > O4

1-У/ -у-1^

(>' + 2) \x~=J=\ = у /*

т. е. все решения смешанной системы (9') и все решения смешанной системы (9") будут всеми решениями данной системы. Будем решать смешанную систему (9'). Докажем, что эта система эквивалентна такой:
Предыдущая << 1 .. 219 220 221 222 223 224 < 225 > 226 227 228 229 230 231 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed