Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
12. Если а = 6 Ф О, то данное уравнение не имеет корней; если а = Ъ = О, то корнем является любое число х, такое, что X < 0; если а Ф Ь, но b (Ь — 2а) (Ь — а) > 0, то корней нет; если афЬ, Ь (6— 2а) (6— а)>0, то имеется один корень б2
X = -^r-J1-- . 13. Если а > 6, то х = Ь\ если а < 6, то х = а; если а = Ь, то х = а.
2 (6 — а)
14. Если а > b > 0, то х = ^а ; если а = 0, b Ф 0 или a 0, 6 = 0, то уравнение не имеет корней; если а = b = 0, то корнем служит любое число, лг>0; если а < 6 или а < 0 или b < 0, то корней нет. 15, Если 2а +- b > 0, а +- 2Ь > 0, то
/'аъ jl-ab X^b2 —-—?—-j если 2а b < 0, а -f- 2Ь < 0,
o-i/~o2 + ^ + ^2 п о .г ,о;
то один корень X = — 2 |/ —J—--- . Если 2а +-6 и а -(- 26 разных знаков, то
корней нет. Если 6 =—2а Ф 0, то уравнение имеет один корень х =—2а; если а = —26 += 0, то один корень х = —26; если а = 6 = 0, то уравнение обращается
в тождество. 16. Если 6 >• a -f- 2, то уравнение имеет корень [(6 — а)2 +- 4 (6+0)+4];
если 6 < а +- 2, то корней нет. 17. Если а > 0, | 6 | >• а, то х = -j^-j~^ * в противном случае корней нет. 18. Если а = 0, 6 Ф 0, то корень л* = 0; если а = 0, 6 = 0, то корнем является любое число X > 0. При а > 0 корней нет. При а < 0 и
а2 — б2 <! 0 — корни X = 0 и х = —^— ; если а < 0, а2 — б2 > 0, то корней нет.
19. Положим Ya — х = а, Уб — л: = ?, Vc — л- = 7; тогда х = а — а2 = 6 — ?2 = = с — Y2 = рТ + Та + a?> откуда
(a + ?)(a + T) = o, (?+«)(? + Y) = a, (T + «)(Y + ?> = C (А)
(« + r) (H- T) (ї + «) = УЖ
Так как я, ?, у — действительные неотрицательные числа, то (а Ф 0, 6^0, с 0 —
А 1 . 1 11,1 11,1 1 „ 1 , 1 1
по условию) abc > 0, -у- -4---> — , —-----> -г »----ґ т > - ~ • Из г і----> — и
J ' b 1 с а а ' с 6 а 1 6 с 6 ' с а
~+-1 > 4- следует, что с > 0 и аналогично 6 > 0, а > 0; следовательно, абс > 0. с а 6 J
Итак, уравнение имеет корень лишь в случае
6 + с > а ' с + а > 6 ' а 6 > с * (С)
Если эти неравенства выполнены, то числа а, ? и y. определяемые соотношениями (В), будут положительны и будут удовлетворять системе (А), из которой следуют соотношения
а — а2 = 6 — ?2 = С — Y2 = ?Y + Ya + «?. (D)
Отсюда
Полагая a — a2 = 6 — ?2 = с — y2 = x ( > 0), получим a = У a — х, ? = У6 — х » ^ = /с — л: и, подставляя это в (D), будем иметь x = Yb— х Yc — + + Yc — X Ya — X + Ya — X Yb — х . Итак, уравнение имеет в случае выполнения
1 /1 1 1 \2 условий (С) один корень: х = а—^ abc (— ~a~^~b"^"~c) ' ^сли ^ ^> а, уравнение имеет единственный корень 2 Va6; если 6 < а, то корней нет. 21. Если 6 < а, то уравнение имеет один корень х = 0; если 6 ^a, то уравнение имеет корни 0 и
In 1.Ll
/ л л \ п
23,-------. 24. Если a < 1, то
^ута-2*,22. [ьш_дВ+)я - й
2&
492 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
у 4а— 3—1 nr 0 корней нет, если #>1, то уравнение имеет один корень х = ----. 25. Если
афО, то уравнение не имеет корней; если а = 0, то уравнение имеет один корень х = 0. 26. X = —а. 27. ±а. 28. X1 = 0,х2 = а. 29. 0. ЗЭ. Если а < 0, то уравнение корней не
имеет; если а > 0, то уравнение имеет один корень х=— ~ . 31. Полагая Ya + х = а, 4_
Ya — X = V, получим (а ф v)2 (и2 ф v2) = а (и4 — v4), и4 ф v4 = 2а, или, так как и ф V Ф 0, и2 ф у2 Ф 0, то и ф V = а (а — v), и4 ф v4 = 2а. Отсюда следует, что при а < 0 уравнение не имеет корней; если а > 0, то, полагая далее а — v = I, и ф у = [х, найдем [X = ак и затем найдем
4 - 4 _
} 2 yra 2а Yа
4 _ » 1 4 '
Ya4 ф Qa2 ф 1 I7V ф6а2ф\
а так как ja— а = 2v > 0, то а > 1; значит, при а < 1 уравнение не имеет корней. Если же а > 1, то
4да(д+1) ( (a-I)Va
л4 -г Qa2 ф 1 4_
\ У а* ф 6а2 ф 1
Проверкой убеждаемся, что это корень (следовательно, и единственный корень) данного уравнения. 32. а. 33. Умножая обе части уравнения на /і ф х ф 1, находим один из корней X1 = 0. Далее надо решить уравнение ]</Г1 — х ф Х=а( УТ~фхф 1). Полагая }г\ — х ~^-Х = \ }ГХ фхф 1 = а, находим (к — I)2 + — I)2 == 2, X = ац.
2 (а ф 1) , 2а (а ф X) .. . . 1 л '
Отсюда ,а = - 2 ' 1 , л = —-2 ' - . Из условия X > 1, р- > 1 находим у 2 — 1 <
< л < уг2 1. При этих условиях данное уравнение имеет еще корень
4а (1 — а'2) „ _ г=-
X = ч2 • Если же а < У 2 — 1 или а > У 2 ф 1, то данное уравнение имеет
только корень л: = 0. Полезно убедиться непосредственной подстановкой в уравнение У\ — X 4- X = a (Yx т х 0, что в случае ]/~2~ — 1 < я <; V2 ф 1 значение
4а (X—а2) ол гт ^ л
" — есть корень этого уравнения. 34. При а <; 1 уравнение имеет корень
(а2-Г X)2
а + 1 „ ^ 1 _______я „Л or. « + VI + Я*
2
при а > 1 уравнение корней не имеет. 35. а ——~—¦- 63. Положим
X2 ф 2ах ф ~ = у, тогда у = — а ф j/~а2 ~т х — ^> У + # — |/~я2 + -* — • При y-f #->0 это соотношение эквивалентно такому (у ф а)2 = а2 ф х — ^ или
