Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
— Y х\ имеет только один действительный корень X = ~ + ' однако установить проверкой, что
это значение х является корнем, технически трудно. Заметим, что весьма часто производятся такие преобразования уравнения, которые приводят к новому уравнению, являющемуся следствием предыдущего. В таком случае решения никогда не теряются, но <посторонние» корни могут появиться. Покажем, как может быть решено уравнение, данное в задаче 1: Yх + 5 + \Г2х 4- Ь = 7 (1), каждым из этих двух методов.
Вариант I. Из уравнения (1) имеем: х 4~ 5 4~ 2 Y(x + 5) (2х -\- 8) 4- 2х -f 4-8 = 49, 2 Y(x + =3(12 — х), 4 (х + 5) (2х 4 -8) = 9 (12 — х)2, х2 — 288х~г
4-1136 = 0, X1 =4, X2 = 2й4. Так как каждое из последующих уравнений есть следствие предыдущего, то в результате этих преобразований корни не могли быть потеряны. Проверка, однако, ііужна, и с ее помощью мы устанавливаем, что только X = 4 — корень, следовательно, и единственный корень данного уравнения. Большое количество <искусственных) приемов решения уравнений и заключается как раз в получении из данного уравнения — следствия-/ при таком способе проверка необходима: при ее помощи будет выделено множество всех решений.
Вариант Tl. Если х — действительный корень данного уравнения, то х-\- 5 >0, 2x4- 8 >0, т. е. х>—5, х >—4, или х> — 4. Таким образом, данное уравнение эквивалентно (над полем действительных чисел) смешанной системе:
Yх 4- 5 4- Y2х 4- 8 = 7, х>—4. (1)
Эта система эквивалентна такой (возводим в квадрат):
x + b + 2Yx^V5x~^ + 2x + b = 49, (2)
х>—4.
В самом деле, соотношения (2) следуют из соотношений (1). Обратно, если выполнено второе из соотношений (2), то х4-5>0, 2х-)-8>0 и, значит, первое из соотношений (2) можно переписать так: (Yх 4" 5)2 4-4- 2 Y(x 4- 5) (2х + 8) 4- (/2х~+8)2 = 49, или 4- Y2x~+8)2 = 49; так как
Yх 4-5 4- ЛГ2х + 8 > 0, то Yx -f-5 4- V~2x 4-8 = 7. Система (2) эквивалентна такой: 2Y(x 4- 5) (2х 4- 8)і = 3 (12 — х), х > —4. (T). Система же (2') эквивалентна следующей
с 4 (л: 4-5) (2* 4-8) = 9 (12 — X)2, 12>х> -4. (3)
31*
484 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
В самом деле, соотношения (3) следуют из (2'); обратно: из соотношений (3) следуют соотношения (2')- Решая уравнение 4 (х + 5) (2х + 8) = 9 (12 — х)2 или X2 — 2SSx + 1136 = 0, получим: X1 = 284, X2 = 4. Условию —4 < х <; 12 удовлетворяет только л* = 4; следовательно, л: = 4— единственный корень данного уравнения. Задачи, которые даны ниже, рекомендуется решить обоими методами. 2. О
и 4. 3. О и 2. 4. ± -L 5. 4-. 6. О, 9f 9. 7. 10. 8. 6. 9. 2+У?-. 10. —1-т/ 5 ^ *^ ^
П. —I. 12. Перенося второй радикал направо и возводя в квадрат, получим
10 = —2]/~2х2-\-5х — 9; отсюда следует, что уравнение не имеет корней. 13.5
и І. 14. Возводя в квадрат, получим 1 + 2 yrx2 + 8л: + 15 = 0. Корней нет.
15. Если х— корень данного уравнения, то 2х -f 4 > 0, 2 — х > 0, т. е. —2<л:<2; заметим, что если —2 < х < 2, то 12* — 8 = 2 (бх — 4) = 2 [(2л: + 4) — 4 (2 — л-)]-= 2 [(У"2л* -j- 4)2 — (2 У 2 — л:)21. Данное уравнение эквивалентно следующему:
/27+4--2/2^ = ^
У9л-2 -j- 16
или
(-2 П=-х 4 /5 + 4) (1-2 t^l±m^ в о.
\ /9**+ 16 /
Таким образом, надо найти корни уравнений \' 2х + 4 — 2/2—л: = 0 и
п У 2х + 4 + 2 У 2 — X _ 0 , п
1 — 2--' . '--— = 0, удовлетворяющие условию —2 < х < 2. Решая
] 9х2 + 16
_ _ _ _ 2
уравнение /2л: +4 — 2 У2 — х = 0 или У 2л; +4 = 2 У2 — х, получим х = -g~;
2 2
так как —2 < -^- < 2, то ^ = -- — корень данного уравнения. Уравнение
1 — 2 ^~^х +4 + 2 У2-X __ ^ ЭКВИВалентно уравнению 1/Л9лг2 + 16 = 2 (У2л* + 4 +
_/9л:2 + 16
4 2У2—лс), а это уравнение эквивалентно следующему: 9л:2 + 16 = 4 \2х + 4 4 4 4 У(2л:+ 4) (2 — л*) + 4 (2 — Jt) 1, или 9л:2 + 16 = 4 (12 — 2л: + 4У8 — 2л:2), или —9л:2 + 32 — 8л-+ 16 У8 — 2л~2 = 0, или 4 (8 — 2л*2) + 16 У 8 — 2х2 — (х2 + 8л:) = 0, или (2 У8 — 2л-2 — х) (2 У8~— "2л:2 + 8 + х) = 0; отсюда 2 У8 — 2х2 = л: и 2У8 — 2л:2 + 8 + X = 0. Второе уравнение не имеет корней, так как из условия 8 — 2л:2 ;> 0 следует, что | л|<; 2, а поэтому 2 У 8 — 2х2 + 8 + х > 0 при всех х, удовлетворяющих этому условию (|л-|<.2). Первое уравнение перепишем так:
У8 — 2л:2 =~; решая его, получим х = "* rQ ^ , а так как —2 < - rQ * < 2, то 4У 2
л* = —g--корень данного уравнения. Итак, данное уравнение имеет два корня:
2 4 У 2 і____
и —g—. * 16. Перепишем данное уравнение так: уг2л:2— 1 — Yx2 — х + 2 =
= У2л*2 + 2л* + 3 — Ул:2 — Зл"—2. Возводя обе части в квадрат и присоединяя к уравнению соответств)ющие неравенства, получим две следующие смешанные системы, эквивалентные данному уравнению:
2л*2__1 _2У2^^1Ул-2 —лг + 2 + л:2 — л: + 2 = = 2л-2 + 2л: + 3 — 2 У 2л:2 + 2л- + 3 Yx2 — Зх — 2 + л:2 — Зл- ~ 2, 2л-2 — 1 > X2 — л- + 2 > 0, 2л:2 + 2л: + 3 > л'2 — Зл- — 2 > О
4/2 я _...... о ^4/2
* Отметим, что в книге (Сборник алгебраических задач> Е. Пржевальского (Учпедгиз, 1941, в решении этой задачи, помещенном на стр. 157, задача дана иод
