Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
W"V^ Зу + Т + ІК Зу + т) = 0, откуда Iy=J/ д-+-^. Отсюда
5, -g- j, (—9 — 4 /б ,-2+6/6). 20. (5, 4),
(_5, _4), 05, _12, (_15, 12, 2,.(^,^),(-^,-^). 22.У^а-
н и е. Первое из данных уравнений приводится к виду у2 (Г + х*) = 2х2 (1+/1 + у4); отсюда следует, что если х = 0, то у = 0, а если у = 0, то х = 0; однако (0, 0) —
Ответы. § 12. СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 497
не есть решение данной системы (см. второе уравнение). Данная система эквивалентна такой:
В -")'+2I -2 0+/ІТ7)' (і -') (т -')=2 п ¦
5 + 2
= 2(1+П+У4). (^-*)(у-у) = 2/2
или
или
' + у4 + 3у2-і =/Г+7(у8-1)8. (7-х)(у->') = 2>"2-
Эта же система эквивалентна следующей смешанной системе:
{у6 + уА + 3>,2 _ J)2 = (, + у4) (у4 _ 2у2 + 1)2,
У6 + У4 + 3^-1>0, (1-^)(1-^=2/2 ,
или
у* + 2у« - j = О, J-« + у« -+ Зу* - 1 > 0, (1 - дг) (1 - у) = 2 >г2 ;
= ± у у ~ — 1 , а затем и все решения системы
отсюда находим у
VVT-
1 — 1
VV
¦ 1 — 1
і
I
23. Решение:
(2у — 1) /л-4 + 4х + 3 — (2л: — 1) /у4 + 4у-|3 = л'2 — у2 — 2л'2у -f 2ху2 + Ax — 4у, (2у — l)"j/> + 4;c + 3 — (2л* — 1) /у4 + 4у + 3 = (2х — 1) у2 — (2у — 1) л2 + 4л — 4у, (2у — I)V*« + Ax + 3 — (2* — 1) Vy4 4- 4у + 3 = = (2х — 1) у2 — (2у — 1) X2 -f 2 (2х — 1) — 2 (2у — 1), (2у - 1) (л-2 + 2 + y*4 + 4x + 3) = (2д: - 1) (у2 + 2 + УуЧ1 4уТЗ)-
32 П. С. Моденов
498 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
(2у — 1) [2 + x* + Y(s* + 2x+l)(x*-2x + 3)) = = (2х - 1) [2 + у2 + У(у2 + 2у + \)(у*-2у + 3)], (2у — 1) [2х2 + 4 + 2 У(х2 + 2х + 1) (л:2 — 2х + 3) J = = (2*- 1) [2у2 + 4 + 2У(^+2у + 1)(у2-2у + 3)], (4у — 2) [ jc2 + 2л: + 1 + 2 У С*2 + 2х + 1) (л:2 — 2* + 3) + х2 — 2л: + 3] = = <4*-2) [y2 + 2y + l+2Y(y2 + c2y + \) (у2-2у + 3) + у2_2у + 3], [(у2 + 2у + 1)—(у2—2у + 3)] [х2 + 2л: + 1 + 2 /(jc2 + 2л:+ 1) (л:2—2л: + 3) + л:2—2л+3] =
+ 2* + \)-(х*-2х + 3)] [у2 + 2у + 1 + 2 Y(У2 + 2у + 1) (у2-2у + 3)+ у2-2у+3], а так как
л:2 + 2л:+1>0, у2 + 2у + 1>0, л:2 — 2л: + 3 > 0, у2 — 2у + 3 > 0, .
то
[(у2 + 2у + 1) - (у2 - 2у + 3)] (/*2 + 2л:+1 + У*2-2л: + 3)2 -= [(л2 + 2х + 1) - (л:2 - 2л: + 3)] (/у2 + 2у + 1 + /у2-2у + 3)2, а так как
Yx2 + 2л: + 1 + /л:2 — 2л: + 3 > 0, /у2 + 2у + 1 + /у2 —2у+ 3> О,
то
(Уу2 + 2у + 1 - Уу2-2у + 3) (У*2 + 2л:+1 + /л:2 - 2л: + 3) = = (Y X2 + 2х + 1 — У л:2 — 2л: + 3) (Уу2 + 2у + 1 + У у2 — 2у + 3).
Раскрывая скобки и производя упрощения, получим (х—у)(2ху— х — у — 4)==0.
5
Если X = у, то из второго уравнения найдем х = у = — . Если 2л:у — х — у — 4 = 0,
х + 4 ,/"~3~ З 3
то У = 2х _ 1 и второе уравнение принимает вид у —^ — \2х—\\ = 2х — 1'
Если 2л: — 1 < 0, то У^ x~r~j = 0—это уравнение не имеет корней; если 2л: — 1 > 0,
то у \ = 2х_і » 0ТКУДа находим лишь одно значение л:, удовлетворяющее
X + 4
условию 2л: — 1 > 0, а из формулы у = —у соответствующее значение у. Итак, система имеет два решения: , , (2 + -|-Уз , -^Уз"~-j^. 24. (4,3),
(4 j/^^. — 3 j/7"^) - 25. Указание. У~х~АГу = «. У*7^ == f. Ответ: (5, 4).
— Л 2
26. л:=л3, у == f3, z = w3. Ответ: (1, 4, 9). 27. Этот пример заимствован из книги Е. Пржевальского <Сборник алгебраических задач> (Учпедгиз, 1941, задача № 412, стр. 33 и стр. 230). Вот какое решение приводит сам автор: «Из первого уравне-
( * ,/ у2 , у , і у2
ния ^разделив обе части на у ^2 _^_XJ получим + ^y- "Ь 4" " 4"' или
(2Yx + i)
, откуда
2~у^+2 -±т ^-(7W (1)
y^ + yjT—у —1 (1 Y~x ~~у + 2
Из второго уравнения „_ '— J — = у + L или -= -—!— , или
—У* —у — 1 У^ ух — у — і у
* _(У+2)2 илиУ + 1 4(у + 1) jc-y-l-—7~. или-^-= (^ + 2)2 , откуда
у + 1 = 0 и * = (^ + 2)2 - (")
Ответы. § 12. СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 499
Комбинируя уравнения (I) и (II), найдем несколько значений л: и у, из которых удовлетворяют уравнениям х = 4, у = 2>>. Здесь мы имеем типичный пример <манипуляций», проводимых без всякого анализа эквивалентности цепи промежуточных систем. Словом «или», повторяемым три раза подряд, автор разделяет четыре уравнения, каждое из которых не эквивалентно предыдущему, а именно — каждое
из уравнении
Ух — ух — у — 1 Yx у+ 2
Ух—у—I У
X (У +2)2
-у-1 у*
1+1 = 4IzJlD
X "(у+ 2)2
(В) (С) (D)
не эквивалентно предыдущему, а последнее уравнение не эквивалентно совокупности уравнений (H)
у + 1=0, X= (у + 2)2 . (E)
Действительно, уравнение (А) имеет, например, такое решение: х=1, у = О, которое не является решением уравнения (В). Уравнение (С) имеет, например, такое решение: X = —1, у = —1, которое не является решением уравнения (В). Далее, уравнение (С) имеет решение х = 0, у = —2; но эта совокупность чисел не является решением уравнения (D). Наконец, одно из уравнений (E) имеет в качестве решения пару чисел х = 0, у = —2, которая не является решением уравнения (D). Далеко не благополучно обстоит дело и с преобразованием первого уравнения данной системы; оно, т. е. уравнение
