Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
х~у2л~2ау ф —. Итак, корнями данного уравнения будут значения х, входящие в решения смешанной системы:
у = х2ф 2ах ф-
16'
Из (1) находим или
х = у2ф2ауф±, (1)
у + д>0. у — X = X2 — у2 ф 2а (х — у),
(х-у)(хфуф2афХ) = 0. (А)
Х_ 16'
Пусть X — у = 0, т. е. X = у. Тогда у = у2 ф 2ау ф —, или у ф а = (у ф а)2 —-
-а2 + а + 1, уфа = ^±уГа2~аф~ =^-±|/"^-1) (а"т)" °ТСЮДа
13 3
следует, что система (1) не имеет решений, если < а < ; если же а>-^ или
д < —, то значения для у ф а будут действительны. Одно из этих значений
Ответы. § 11. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ 493
А + |/(д — ~j (а — I) положительно. Поэтому при л > -~ или а < - * уравнение всегда имеет корень
*і = -а + -2- + і/"(а-т)(а~1) •
Исследуем второе значение для у + а:
y + a=j-]/("-т)(«-4)'
Условие у + л > О дает ~ > (л — ~) (а ~"|") > откуда
2-=Д<в<24Д. (3)
2-/5 2 f /5 ,I1A/ 1 \ („ 3\
Значит, если а < —~— или а > —--, то X2 = —a H- —|/ ^ л — -Н (а — "4 1~
2-/5 ^ ^ 1 3 . .2+/5 не корень данного уравнения. Если же —j-< а < или ^~<а^—^----,
то данное уравнение имеет еще корень
*2 = -* + 4-]/~ («-!)(«-?. (4)
Из соотношения (А) далее следует, что | v + 2я + 1 = 0, откуда х -= — у — 2л — 1,
1 " 17
а значит, — у — 2л — 1 у2 + 2лу -f yg или (у 4 л)2 + у 4 л — л2 4- a + yg = О,
откуда у + л =--L ± |/"л2 — а — Jg . Перед корнем следует взять только знак 4:
у 4- л = — "2" f j/ — Л — уб ' 11 это значение для у + л будет не отрицательно,
Л- /2Т 2 + /2Ї . 2 —/2Ї ^
если или л < -—^---, или а > —~~— ; оно будет отрицательно, если -—^—- <
2 4- /2Ї ,, 2 — /2Ї 2 4- /21
<o<—--. Итак, если л<-—~—- или л>——, то уравнение имеет
16 4
1
13 2 —/21 2-/5
7-; если -— -— < л < —г—--Ib 4 4
1 / 13 2 —/21
корень л*з " — л — -у — у сі2 — л —— |g. Итак, если — со < л <----{------, то урав-
i /—- "~з
нение имеет два корня: X1= — а \~ -Г) + у а2 — л + yg> -*"з
-|/ л2-л
корень: X1= — a + ~- f |/ л2 — л + |^; если —< я < ~, то уравнение
имеет два корня: — а + -^- + у л2 — л — yg, л-2 =— л+-^— |/ а2 — а"^~Тб'
1 3 3 2 f /5 если -у- < л < —-, то уравнение не имеет корней; если -- л —-у----, то урав-
:, - -л +- -2- -f л2 — л 4- yg , лг2 - —л 4 -у ~~ |/ л2 —л + -^;
2 + /5" 2 4-/21 , 1 ,
если —1у--< л < —-у— , то уравнение имеет один корень X1 = —# + "2—Ь
. _.„_ ^ /2т
4 |/ л2 — а 4- yg ; наконец, если л ^> —-—, то данное уравнение имеет два
корня: Xx = —л 4 + |/~#2 — л + ™ , х3 —а—™— |Х" а2— л—~. Геометрическая интерпретация: система у = х2 + 2лл: 4 |g> У = — л -f |/* л2 + х—~
нение имеет корни л-
494 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
1
или у = х2 + 2ах 4~ Jg» х = У2 + 2#у -f =;, у + я > 0 представляет собою две линии:
16'
парабола у = х2 -f - 2ях -)- jg и «верхняя;> часть дуги параболы х = у2 -f- 2#у + ^rg •
Эти линии, как показано аналитически, могут пересекаться в двух, в одной точке или вовсе не пересекаться. Рекомендуется построить эти линии для следующих
значений параметра: I. а =— 1. II. а =—— ¦ HI. а = j • IV. а = . V. а = I.
3
VI. я = у • л == 2. 37. При а = b данное уравнение — тождество. Если а Ф Ь,
ab < О, а -)- b Ф О, то уравнение имеет три корня: 0, ±Yab. Если а Ф Ь, но или #6^>0, или a -f- 6 = 0, то уравнение имеет только один корень х = 0. 33. Если I с I < 2, то уравнение не имеет корней. Если с = 1, то уравнение имеет один корень
X = —• Если с = —1, то уравнение не имеет корней. Если | с \ > 2, то уравне-
b(c + Vc2—~4) 2a — b(c—Y C2^A)
ниє имеет два корня: X1 =
2а-
2 + с — Yc2 — 4
(в слу-
2 + с + ус2 —4
чае I с J > 2 знаменатели этих выражений отличны от нуля). 39. Решение: данное уравнение эквивалентно двум смешанным системам:
(д2х2 — б2) (1 — X2) + (1 + X2) (а — сх)2 —
— 2х(а — сх) Y{а2 — b2) (1 — х2) + (а — сх)2 = 0, (I)
1*1<1
и
(а2х2 — b2) (1 — X2) + (1 + X2) (а — сх)2 + -\-2х{а — сх) Yija^l)^ = 0, (H)
Ul> 1
Будем решать смешанную систему (I). Уравнение, входящее в эту систему, можно переписать так:
(а2 — X2) (1 — X2) + (а — сх)2 — 2х(а — сх) Y(а2 — b2)J\ — х2) + (а — сх)2 -f + X2 {а — сх)2 = а2(\ — jc2)2, I X \ < 1,
или У"(я2 — b2) (\—X2) -f- (а — сх)2 — X (а — сх)=±а(\—х2), |х|<1. Эта смешанная система эквивалентна системе (a2 — b2) (I—х2) -f- (а — сх)2 = [х (а — сх) ± ±а(\ — X2)]2, |л-|<1, х(а — сх)±а(\—х2)>0. Упрощая уравнение, получим (можно в силу I X I < 1 сократить на 1—х2):
(а — сх)2 :•: 2ах (а — сх) 4- а2х2 = Ь2, \х\ < I, X (а — сх)±а(\ — х2) > 0
или
я — сх -\~ ах = Ь,
\х\<1 \ (А)
X (а — сх) — а(\ — л2) > 0;
я — сх 4- ах = — 6,
UKl, і (В)
Л" (я — сх) — а (1 — л-2) > 0; я — сх — ах = Ь,
Ul < 1, І (С)
X (а — сх) + а (1 — х2)>0;
я — сх — ах = — 6,
