Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
(и + v) [(и + v)2 — 3uv] + 3cav = С3, или а2— 2а— 1, L3 — Зли -|- Зси. = с3, где
X = W-J-V1 [L = UV. Исключая jx, получим: I1 = C, X2 = с + УЗ Ус2 + 1, a3 = C —
г- г_ Х22-1 Ц-1
—у З У с2 + 1, UL1 = —-— , Jx2 = —-— , JJi3 = —g— . Теперь и и V найдутся как
корни уравнения г2 — Xz -\--g— = 0, отсюда
Х±уг2 — X2
Так как система решается над полем действительных чисел, то при 2 — а2>0; Z1 и Z2 будут равны и и v, а х = #w3, 3/ = ^f3, т. е. система будет иметь решения
[•C-U^)'. [«(^El/, .(У^ЕЕ)'].
Таким образом, 1) X = X1 = c Если 2 — |/ — > 0, то система имеет следующие
Г /c^yr2=~cV /с —>/"2~=^^\3 1 I (с — У'2^72\ /c + /2^cV] решения: |^_JL_J ,а(---^-j J >[*(-2-) 'Ч--2--Jj'
Если же 2 — у -^2- < 0, то ни одна из этих пар чисел не есть решение. 2) X = X2 ~~
^c + У~3 Ус2 + Ї. Если 2 — = 2 — (с + УЪУсЧ^У > 0, т. е. —2 /З^/сЧ=! > 4С2 _|_ ^ то система имеет еще два решения (см. ниже). Условие 4с2 +1 <
< —2У 3 с Ус2 + І не будет выполнено, если с >0, т. е. 1/ — > 0, т. е. если 6>0
(ибо сейчас мы предполагаем, что а > 0). Если b < 0, то с < 0, и это условие может быть выполнено; однако оно в случае с < 0 эквивалентно следующему 12с2 (с2 + 1)>
> 16с4 + 8с2 + 1 или 4с4 — 4с2 + 1 < 0, (2с2 — I)2 < 0, откуда с2 = - , с =--.
2 У 2
Итак, только при 1/ = —-Г- система имеет следующее решение (соответ-ствующее \ = X2 = / 2): . ^f) • 3) X = X3 = с - / 3 /с* + 1. Рассуждая
504 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
как и выше, найдем с = ,X = — yr2 , решение: (--,--~г=\ • 7. а) если т
У2 \ 2/2 2Y2J
и п — нечетные числа, то вместе с решением (х, у, г) система имеет решение (—л", —у, —z). В случае, если т и п — нечетные числа, то данная система эквивалентна следующей:
Х + У _іЛГ У+ г _.г- z + x
„... 1 ' тп f ' тп 1
Y* +у+ * Y^ + у + Y*+ у + 2
тп — і ,— ,— — *
Складывая, получим (х-\- у -\~ z) =--L—~- , откуда в силу того, что
тп—1 — четное число:
тп -1
m m /л
Значит у -f- -г = л "/"а, z + л* = X уГ& , л* -{- .у = \ Vc . Следовательно,
т т т
. , , Ya + Yb + Yc X + у -j- z = X--:—^——--;
отсюда находим х, у, г; система имеет, следовательно, два решения:
т _ т т _тл-1 т _ ™ т т т тп-\ Гт т т - Ya + Yb + /с J / Ya +Vb 4- Vc Ya — >Т + Yc \/ Yа+Yb+Yc 2 :- У -2~~-*-2~--У -2-;
у"^" +У* — Ус" |/ Ya + Yb + Vc j (1)
Г m /72 m тп-\ гт т т
— у"д + уТ 4- Vc Л/ Ya + Yb + Yc
! _ m _ т 1X"w т _ ^ т — т т т тп~^ Гт т
ra —Yb + Vc~ 1/ Ya + Yb + Vc Va + Yb-Yc "|/ Ya~+Yb -
(2)
б) если т — нечетное, а п — четное, то тп— 1 — нечетное число, а поэтому система имеет в этом случае одно решение (I), в) если т — четное и п — четное, то данная система эквивалентна совокупности следующих систем:
, т . т , т
х + У ,/-- У + Z ,/— Z + X лГг
-----= ?3 у с ,--—1-= є, у а,---— = г2 у b ,
тп 0 1 тп ' 1 ' тп г 1 '
Yx +y + z Y х + у+ z Yx + y + z
где S1, г2і є3, независимо друг от друга, принимают значения +1 и —1. Складывая,
тп-\ тг- т т
получим (х + у + Z) тп ^ д + ?2 У ^ + ?зУ ^ Так как тп j _ нечетное
пп — 1
j "2^"1 У т~2
число, то + у + г)™ - |/ ^Y±±H}fb + hY с Tqk четное
число, то решение здесь существует лишь в случае X + у -j z > 0 и значит для
* Отметим, что если р — нечетное число, то при целых р и q:
Ответы. § 13. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРАМИ 505
еь е2, ?3 допустимы лишь такие наборы из -fl и —1, для которых
т т _ гп
Z1Ya + Z2Yb + ?3У"с > 0. Так, например, следует отбросить набор значений є,=—1, Z2 = —1, E3 = —1 и далее; если, например, E1=—1, E2 = 1, E3 = 1 дает
т т гп
положительное значение для суммы E1 Ya + t%Yb + Z3Y с . то при E1 = 1, E2 = —1, E3-—1 эта сумма будет отрицательна и набор значений E1 = 1, E2 = —1, E3 = —-1 следует опустить. Итак, для наборов є,, є2, E3 из значений 4-І и -^1, для которых т т т гп т т
Z1Ya + Z2Yb + ?з Yc > 0, найдем х + у = г3Yc X1 у + z = E1 Ya \ z + х = E2Yb \ тп-\
л ¦ / -1 Г ~ + ?2 V^ + ?3 Vc ~ -
где A= I/ -:---^-!--. Таким образом, решения системы следующие:
тп-\ г- т ^ у Z1Ya
~] /—~,TZ
-E1 Ya +Z2Yb +ziYc I/ Z1Ya+Z2Yb +z,Yc
2
7 т тп-~\
У =
1 /~ т т т
Xa-Z2Yb + E3VT у S1 Vfl +еаVT ¦Ie3V(T
2
,V* +S2V/, -E3Vc і/ B1Va +E2V* +4Vc
2
где еь E2, ?з принимают значения -j 1 и —-1 независимо друг от друга, но допу-
т т т
стимы лишь такие наборы, для которых E1 Yа + E2у b +Z3Yc > 0, г) пусть, наконец, гп — четное, а п — нечетное. Тогда всякое решение (х, у, z) данной системы таково, что х + у + z > 0; рассуждая как и выше, приходим снова к тем же решениям, что и выше, в случае четных т и п, с теми же ограничениями на наборы знаков для еь е2 и е3 (для радикала четной степени тп — 1 следует брать в силу X + у -f z > 0 лишь положительное значение). 8. Система имеет всегда решение (0, 0, 0). Ниже говорится о решениях, отличных от этого. Если a b + с = 0,
