Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2 4,г-0
№ 235), сказано, что х = у не является корнем данного уравнения, а что л* = ± У 2
4 ----.
и л = — (—2 V —14) — корни. с
Ответы. § 10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 485
2л:2 — 1 — 2 /2л:2 — 1 /л:2 — х + 2 + X2 — X А- 2 = = 2х2 + 2х + 3 — 2 /2л72 + 2л: + 3 У г2 — 3* — 2 + л:2 — Зл: — 2, ^2 „ д. + 2 > 2х2 — 1 > 0, X2 — Зл: — 2 > 2л:2 + 2л: + 3 > О,
или
/2л:2—1 Yx2 — x + 2 = /2л:2 + 2л: + 3 /л:2 — Зл: — 2,
x2 + x — 3>0, (1)
л:2 + 5л: + 5 > О, л"2 — Зл: — 2 > 0
и
У2л:2 — 1 Y^2 —X+ 2 = /~2л:2 + 2л: + 3 Vx2 — З* — 2, л:2 -f — 3<0,
2л:2 — 1 > 0, (2)
л:2 4 5л: + 5<0.
Исследуем систему (1). Эта система эквивалентна следующей:
(2х2 — 1) (х2 — X + 2) = (2x2 + 2jc + 3) (jc2 — Зх — 2), 2х2—\ >0,
л*2 + X — 3 > О, (Г)
л:2 -+ 5л* + 5 > О, л:2 — Зх — 2 > 0.
Упрощая уравнение, получим х3 + 5л:2 + Ix + 2 = 0, откуда л: = —-2, х = = -1-(—3±У"5). Значение л: = —2 не удовлетворяет условию л:2 + х — 3>0, зна-
/5 — 3 о 2 /5+3 чение л: = -—2- не удовлетворяет условию 2л:2 — 1 !> 0, значение л: = —-—
не удовлетворяет условию л:2 + 5л: + 5>0. Значит, смешанная система (1) не имеет решений. Исследуем теперь систему (2); система (2) эквивалентна следующей:
(2л-2 — 1) (л-2 — X + 2) = (2л:2 + 2л: + 3) (л:2 — Зл: — 2), л:2 + X — 3 < 0,
2л-2 — 1 > 0, (2')
л-2 + 5л: + 5 < 0, л-2 — Зх — 2 > 0.
1/1)-3
Корни уравнения, входящего в эту смешанную систему: х = —2, л: = -—^— >
/5+3 тл 0 /5—3 /5+3
х—--_j— . Исследуя значения х = —2, л: =-^— , л: = — -——— , являющиеся корнями первого из уравнений смешанной системы (2'), убедимся в том, что X = —2 удовлетворяет всем условиям X2 + X — 3<0, 2л:2—1>0, л:2+ 5л: +
л Г ?_з
4- 5 < 0, л:2 — Зл: — 2 > 0; х =-^— не удовлетворяет условию 2л:2 — 1 > О,
п " — 1^5+3 не удовлетворяет неравенству лг2 + х— 3<!0. Значит, данное
2
уравнение имеет только один корень X = —2 *. 17. Переписывая данное уравне ние в виде
(1-*)]/" l + A-/x+l = /3x-l (1)
* Этот пример заимствован из книги Е. Пржевальского «Сборник алгебраических задач» (Учпедгиз, 1941, задача № 213); в решении, данном на стр. 150, говорится, что
-3±/5
уравнение имеет три корня: — 2 и -—.
486 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
и возводя обе части этого уравнения в квадрат, получим смешанную систему (l-x)2(l + |)~2 (1-*) }/*(l + A)(* + l) + x+l = 3x-l,
(1-*)}/" 1 + -|--/^+Т>0, (2)
1 + ^->0, х+1>0, Зх —1>0,
3
эквивалентную данному уравнению. Совокупность соотношений 1 + —>0,
jc-f-l>0, Зх—1>0 эквивалентна одному соотношению Зх— 1>0, поэтому смешанная система (2) эквивалентна такой:
(l-x)2(l + 4)~2(l-x) V(1 + ?^ + 1) + *+1=3*-1'
(l-x)j/ 1+|_УхТ1>0, (3)
Зх — 1 > О,
или
(1 — х)2 (l -f- 4) — 2 (1 х) ]/" (1 + 4)(^ + 1)+ 2(1-X) = О,
(1-X)]A 1 + |-/^Т1>0, (4)
Зх—1>0.
Корень х=1 уравнения, входящего в систему (4), не удовлетворяет соотношению
(1 — х) j/^1 "^J"- УГх + 1 ^ ^ П0ЭТ0МУ смешанная система (4) эквивалентна следующей:
(1_д)(і+І-)-2|/" (l + l)(,+I) + 2 = O,
(і-*)]/" i + i_f^+T>o,
З, — 1 > 0,
или
1-, = 2
X
V(1+?^+1)» ^-^l/ ! + 4-Vrl + ^>0, Злг—1>0. или
(|-,j2 = 4(1 + 1)(,+ 1), (1-,)]/" 1 + 1-/Г+7>0, l<jf</3.
или
(, + 1)2-4(, + 1)-28 = 0, (5)
(i-,)j/ i+l-/r+J>o, 1<,</з.
(3 \2 / 3 \ 3 4_|__\ _ 28 = 0, получим х-|--=2 ±4 /"2.
1 — 3 __
Так как должно быть ¦^-<х<уг3 , то остается только х-\--= 2-)-4/2 , или
о X
Х2 _ 2 (1 + 2 / 2") X + 3 = 0, откуда X1 = 3 (1 + /2~), х2 = /2 — 1. Так как 1—X1 < 0, то условие (1 — х) |/ 1 + ~ — /і-|-х > 0 при X = X1 не выполняется. Значение же X = /2 — 1 удовлетворяет всем условиям (5). Итак, данное уравнение
Ответы. § 10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 487
_ 4__4__
имеет только один корень X = Y2 —1*. 18. Указание. /629 — х = a, YlIф х~Ьу + 64 = 706, я + Ь = 8. Ответ: 4 и 548. 19. 16 и 81. 20. 0. 21. 81. 22. Y*2 + 2 =
,._____ /,2_п2_ 1 А2_ /т 2 ! 1
-а > 0, l/> + 2*-h 3 = 6 > 0, ^2_а2 + ^--1--і д + ?-^Г1Ь==9ф-а^
1 , , (6+ а)2 , 1
откуда X = —2" > остается 6 + а ф -—^—— + у > 0 в силу того, что а > 0 и
т). 23. ±3/21. 24. 6, —3. 25. 2, -І 26. l/^^+^2
b>0 (больше корней нет). 23. ±3у21. 24. 6, —3. 25. 2, . 26. J/ —у
27. 3,4(9-/9-7).28. / Ц+-/ 1- = 1./1 + ^ > °/ »-J=
= 6 > 0, а — b = 1, а4 + б4 = 2; отсюда находим а затем легко находится и х. Интересно отметить, что полученное для X значение немного больше 1 (условие X > 1 является необходимым ограничением на корни данного уравнения). Ответ:
1/27+ 12/6 . 29. jg. 30. 1, —2^-. 31. 11. 32. 3. 33. 0 и 2. 34. ~. 35. 1. 36. if. 37.2. 38.+/3". 39. . 40. ^2~^х = ау /JT=H = b, а = I - Ь,
азфЬ* = 1, (1 — ЬУфЬ2==! и т. д. Ответ: 1, 2, 10.41. 8.42. ±2.43. 3, —— •
