Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
x — a = Va+ Ух. (1)
Данное уравнение эквивалентно следующей смешанной системе:
(x — a)2=a + Y~x, х — а>0. (2)
В самом деле, если выполнено равенство (1), то будет выполнено и равенство (х — a)2 = a-{-Yx. Далее, из равенства (I) следует, что х — а > 0 (так как
X — a = Va + Yx, a VaA-Y х > 0). Таким образом, из равенства (1) следуют оба соотношения (2); обратно: если выполнены соотношения (2), то в силу условия а > 1 имеем a + Yx > 0, а из равенства (л' — a)2 = a + Yx следует Y(x — а)2 = = V а + 1' х, \х — a I = Va -+- Ух, но х — а > 0; значит, j jc — а | = а* — а, а потому
X — a = Va ~\~Yxt т. е. мы получили равенство (1). Таким образом, любое значение X, удовлетворяющее равенству (1), будет удовлетворять и системе (2), а любое значение, удовлетворяющее соотношениям (2),"будет удовлетворять и равенству (1). Значит, уравнение (1) эквивалентно смешанной системе (2). Смешанную систему (2) перепишем так: (х — а)2 — (Yx)2 -\- х — Yx — а = 0, х — а > 0, или (х — а — Y х) (х — a + Y х) ~\- X — Y х — а = 0, х — а > 0, или
(x — Vx — a) (* + /* — д + 1) = 0, х — а > 0. (T)
Решая уравнение х — Yх — а = 0, находим Yx = ~ (1 4- /Г + 4а) (так как Yx > 0, a A(I — /і+4а)<0, то равенство Yх = i-(I— /l-f-4а) не имеет места ни
x гт /1 + /ГТ4о~\2
при каком действительном значении х). Далее находим х = (—¦—^—-— J , или
1 + 2а + /ГТ4а~
X = —!--!--это значение х удовлетворяет и второму соотношению
,оч 1 + 2д +/Г+4а 1+У1 +4а смешанной системы (2); в самом деле, х—а==—!-~~-¦--а=——^—- >
1 4 2а 4 /Г+4д
Значит наиденное значение х =-~"- есть корень данного уравнения.
Далее решаем уравнение х + Yx 4 1 — а = 0. Так как 1 — а < 0, то это квадратное уравнение относительно Yх имеет действительные корни различных знаков,
чГ-^ п л/— —1+/1— 4(1— о) /5Г=^3 — 1 а так как } jc > 0, то V jc =-——^--- = 1-^-, откуда
2а — 1— /4а— 3 ^ —1—/4а —З Л л' =-^-. Отсюда находим х — а =-^-< 0, что противоречит неравенству х — а > 0, входящему в смешанную систему (2'), эквивалентную
„ A 2а - 1 - /4а — 3 данной. Таким образом, jc —-—- не есть корень данного уравнения.
1 + 2а 4- /1 -h 4а „ _ Итак, данное уравнение имеет только один корень х = —--™-. 11. Пусть
X — действительный корень данного уравнения. Тогда 0<jc<1, ибо в данное уравнение входят радикалы Yx и /l — х2. Полагая Yx = у, а — Yx = z, будем иметь: /l — у4 — г2, у 4- z = а, 0 < у < 1, откуда у4 + г4 = 1, у -+- z = а, 0<у < 1 (2)-Итак, если X — любой действительный корень данного уравнения, то 0<jc<;1 и числа у = Ух, z = а—/а* образуют решение смешанной системы (2;. Обратно:
4?0 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
если у и z — два действительных числа, образующих решение смешанной системы (2), то х = у2 есть действительный корень данного уравнения. В самом деле, если у иг — действительные числа, такие, что: у4 + г4 = 1, у + z = я, 0 < у < 1 и х = у2, т. е. у = Ух, то г = я — у = я — Ух, 1 — у4 = г4, 1 — x2 = (я — Ух)4, и так как 0<х<1 (это следует из того, что 0< у < 1 и у = Ух), то 1 — х2>0; значит, из равенства 1 — х2 = (а — Ух)4 следует У"і — х2 = (я — Ух)2. Итак, вопрос сводится к отысканию действительных решений смешанной системы:
у4 + г4 = 1, у + -г = я, 0 < у < 1. (2)
Если все такие решения будут найдены, то, выбирая из этих решений значения
уь у2, Уз, мы получим все решения данного уравнения: x1 = у\, x2 = у\.....
Итак, будем решать смешанную систему (2). Замечая что у4 4- г4 = (у2 + ^2)2—
— 2(уг)2 = [(у + г)2 —2уг]2 — 2(Vz)2, будем иметь [(у + г)2 — 2уг]2 — 2 (уг)2 = 1, у -|- г = fl, 0 <; у <; 1 (2). Эта система эквивалентна следующей:
у+ Z = а, 0<у<1, (a2—-2yz)2 — 2 (уг)2 = 1. (3)
В самом деле, из соотношений (2) следуют соотношения (3), а из соотношений (3) следуют соотношения (2). Из первого уравнения системы (3) находим 2 (уг)2 —
— 4а2 (у-г) + я4 — 1=0, откуда yz = а2 ± j/" ?_J—11 так что 'система (3) эквивалентна следующей: ___
yz-a uz у 2 , (4)
у+ Z = а, 0<у<1, или такой _
у(а-y) = a2±}f ^±і, у + г = А,0<К1. (?
—g— = 0. Уравнение
у2 — ay _j_ а2 _|_ у/ а... + \ = о имеет мнимые корни. Решаем поэтому только урав-
-яу + я2-]/ ^Г^ = 0' получаем yb2 = |-(l±|/4]/1 + ^1-3.
Таккак|<я<|-)то4|/Гi- + gL_3>4|/ і + -iL-3-l У2 . 34+2 • 44-3 =
2 У 674 0 2 • 25 0 50 0 Л
— т Q^ ----3 = -а-—3 > 0, поэтому v1 и у2 действительны, а так как
нение у
2 — L
32 9 9
, -Г а4 +1" а 2 я4-1 „
у v2 = а2 — у —^— =-----ргг.--—- = —---п < 0, то эти корни
V 2 и+ /¦?+! ,(- + /«-^)
и у2 разных знаков. Так как 0<!у<!1, то следует взять только
Далее
_1__3д2 "4 :
4 <«-П*
11-2^ Г tJL1""^ * -2-і
імеет только один действительны
4(,+/77?^)'.
>0.
Значит, данное уравнение имеет только один действительный корень
, 2
Ответы. §11. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ 491
