Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
о
44. После возведения в квадрат можно определить-----—. затем — и
х Yl—x2 X
—-¦ * как корни квадратного уравнения; учесть, что должно быть |л:|<1. /1 —х2
4 З 1
Ответ: -=-,-=-. 45. Ясно, что корни х > 0. Подстановка х = — приводит к преды-
дущему уравнению. Ответ: ~, j. 46. ±13, ±3/2Ї. 47. 4, 11, ^+^.j/"" 2 1
48. + —-— 49. ±тг- 50. Корнями являются все числа х такие, что
lA + 2f4 2
5 5
у<х<3. 51. ~. 52. 4416. 53. Корней нет. 54. 78. 55. (3 — х)3 ф(х — I)3 =
I I
= 2 (je — 1)3 (3 — х)3. Возводя в куб по формуле (а ф б)3 = а3 + б3 + Зд? (а + ?) и учитывая это уравнение, получим (3 — ^)5 + (х — I)5 + 6 (х — I)2 (3 — jc)2 = — 8 (а- — 1) (3 — х). Полагая 3 — х = а, х — \ = Ь будем иметь а + Ь = 2, а5 + о5 +
27 7
ф6а2Ь2 = 8ab. Отсюда найдем ab. Ответ: = 2. 56. ± т-г, ±7Г. 57. * = 39 не 1 14 о
является корнем данного уравнения, поэтому данное уравнение эквивалентно
следующему:
(39-х) |/~ ±^±--(х-6)
V 39 —X
= 30.
Положим У^Ег^ = и> получим систему (^^^J^Zlffi = зо, И5 = Из второго уравнения находим (и5 Ф—1):
39м5 + 6 39 ^ 33
X — 6
X = -
I + «5 ' I фи5
:темы принимает вид
3(иф I)(IOm4 — 21м3 + 10а2 — 21а + 10) ' v_
—'—i-i-Г+м*-~-^ определения и имеем возвратное
первое уравнение системы принимает вид тт-^1! =30, или
(1 + »5)(1—и)
* Этот пример заимствован из книги «Сборник алгебраических задач> Е. Пржевальского (Учпедгиз, 1941, задача №_275). Решение задачи дано на стр. 171 и 172. BfOTBeTe даны четыре корня: 3 ± ЗУ 2 и —1 ± /2.
488 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
уравнение 10а4— 21а3 -J- 1Ow2 — 21^+10 = 0. Решая его подстановкой z = и \~ — и ограничиваясь лишь действительными корнями (так как в данном случае для мнимых значений и и х будет мнимое), будем иметь Ui =2, U2 = ~ и соответственно этому X1 = 38, х2 = 7. 58. 9. 59. 2, — gl. 60. Корнем является любое число х>2.
61. Корнем является любое число л*!>1. 62. Должно быть 2 — л*3 > 0, х <; ]/*2 .Так как справа стоит неотрицательное число, то х2 — 2^0, откуда или х^У~2 или х<—/2; условие х ;> /2 противоречит условию л-^У^, значит остается л'< — /2; при выполнении этого условия будет 2 — л3 > 0 и х2 — 2>0. Теперь находим (X2 — 2)2=(2 — л:3)3, или х9 — 6л:6 + Xі 4- 12л*3 — 4л:2 4-4 = 0, или л:4 (14*5)-— 6л:6 4 12л*3 4 4 (1 — л-2) = 0. Так как х < — \r2 , то л:4 (1 4 л:5) < 0, —6л:6 < 0,
12л-3 < 0, 4 (1 — л-2) < 0 — данное уравнение корней не имеет. 63. —~-, 2. 64. 2 и 11.
(2 4- VW J-I (2 — Y^Y 4- 1
65. Уравнение не имеет корней. 66. —-——---,---^-¦— . 67. Полагая
(2 41/3)" — 1 (2-/3 )" —1
--2/— 2
у х = у и -g- — У л: = г, сводим уравнение к системе у4 4- z4 = 1, у 4 ^ = у .
решая которую, находим единственный (действительный) корень данного уравие-
I 2
§ 11. Иррациональные уравнения с одним неизвестным, содержащие параметры
і гт а (а —А)
1. Данное уравнение имеет один корень J^IT+T) тогда и только тогда, когда или
а < — 2 или — 1 < а < 0. 2. /л7—У = у, /лГ=7 = z, у + г = a, y2—z2 = 4. Очевидно, должно быть а > 0 (если а < 0, уравнение не имеет корней). При а > 0, 4 1
^4"~^» — "^)' так как 2 ^ то Итак, при
а >2 уравнение имеет корень х = 3 4- >'2 = Г • 3. Есліі # < 0, то
уравнение имеет корень х = —2а; если а > 0, уравнение корней не имеет; если а = 0, уравнению удовлетворяет любое положительное число. 4. Если а > 2, то
уравнение имеет два корня: ± -^-1/ ^-г- Если а < 2, уравнение корней не
имеет. Если а = 2, то уравнение имеет один корень х = 0. 5. Уравнение имеет
один корень ± j/ -— только в случае 2 < а2 < 4; знак корня такой же,
как и у а. 6. х 4 /л: — /л:2 — л: = a YX+YX,YX~-Y х~— 1 = я, = у, /л:—I=z, y—z = а, у2—2^ = I1 у 4 г = 1, у = ~ ^a 4- I^ >0, откуда а > 0, z — ~ —а^>0,
при а > 0 это дает л < 1. Итак, при 0 < а < 1 данное уравнение имеет один корень
(a2+ Ix2 _ _ л _ 64а
\—2а""J • ^Ри а >^ это Уравнение имеет два корня: 0 и j-q25» пРи —
один: л: = 0; при а < 0 — ни одного. 8. Если а < — 2, то имеется два корня: 0 и (2 4 а)2' ЄСЛИ — 2' т0 °ДИН корень 0. 9. Возводя обе части уравнения в куб, получим: а+х — а+х + 3 Y' а2 — л:2(і^а — л-—|^"а -j- x)^Ya2~^x2, 2х+зУ ЪТ^х2 X
X {—Ya2 — X2) = Ya2 — х\ 2л- — 3 Ya2 — х2 = /а2 — л*2, л = 2 /а2 — .у2, откуда
л. 2а гг 2л ял—--- г.—— з/" 2а
л- = ± . Проверка: для х = имеем у а + х — у а — х = |/ а|- —
У 5
Ответы. §11. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
489
3 _ б 3/_
Va п А--г _6/™ /^ |]У а\
= ~—. Правая часть: у а2 — х2 = у а2---—- =-^—=-±-^—l-. Если а > О, то
/5 /5 /5
2а А 2л
X = — корень данного уравнения, а если а < 0, то х =— не корень данного уравнения. Аналогично убеждаемся в том, что если а > 0, то Jt =-^J? — не
2а
корень данного уравнения, а если а < 0, то х = —— корень данного уравнения. 10. Перепишем данное уравнение так:
