Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2n + 1 2/2 + 1 2/2 + 1
. r. . 3r. . (2/2— I)Tt
sin т~- sin -г— .. . sin
4/2 4/2 ' ' ' An
2n пт
COS -~-r cos 4—-—г- ... COS —, . V
2/2 2/2+1 2/2 + 1
- 3r. (2/2— 1)71
COS -r— COS -г— . . . COS
4/2 " An An
2~ 2пт,
COS -.—r— COS ^-r . . . COS ту—r-r
2/2 -j- 1 2/2-+-1 2/2 -+- 1
2- 4- 2«7c
COS тг—r-r COS 41—r—p . . . COS
2/2 -f 1 2/2 + 1 ' * * 2/2 + 1 "
COS -jj- -f- COS JY ~f-COS yy + COS yy -f- COS -j j- .
2т: , 4г: , бтс , 8тс . IJ-
COS уу -р COS -уу + COS уу + COS -уу -+- cos -jу-.
- , 3~ . 5тс , 7тс . 9тс , 11г
COS „ _ ,OS уу +- COS уз + COS у-у + COS уз- + COS у~
1 2 sin 70°.
2 sin 10J
2г, . At. 7tz т.
COS ~j~=--1- COS -rp- — COS -pr- -COS -pr- .
Io 1 15 Io Io
ctg 7°,5 4- tg 67°,5 — tg 7\5 — ctg 67°,5.
21. Доказать, что корни уравнения
Xа —5х'- 4~Gx— 1 — О
л о т' л о 2т: . г, суть 4 cos2 — , 4 cos2 -^- и 4 ;оз- -=-.
/ 7 7
362
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
22. Доказать, что корни уравнения
Xs — 33х2 + 27л: — 3 = 0
суть tg2 20°, tg2 40° и tg2 80°.
23. Доказать, что
3- т. 2тс 4- тс 7г. Ib 13-
cos -=- cos — cos -=- cos -=- = COS -T1=- COS -у=- COS -T1T- COS -nr- , 5 5 5 5 15 15 15 15
24. Найти sin x из уравнения
sin a + sin (,v — a) + sin (2x + a) = sin (x + a) + sin (2x — a),
3r
причем т: < X < -7^-.
25. Найти tg X из уравнения
2 cos л: cos (а — х) = cos а.
26. Найти tg2x из уравнения
1 + sin л: + cos X + sin 2x + cos 2х = 0.
27. Преобразовать в произведение
ctg2 2л: — tg2 2х — 8 cos 4x ctg 4 л:.
28. Найти алгебраические срязи между углами х, у, zt если
tg* + tgy + tg2 = tgxtgytgz. •
Найти затем при этом условии наименьшие положительные значения углов х% у, г, если известно, что
У + z X + у
* = •+=— и 2 = —^-.
29. Сколько корней имеет уравнение
X arc tg X = 1.
30. Сколько корней, удовлетворяющих неравенствам
0<х<2^,
имеет уравнение
sin 2х == lg sin л\
31. Дано (l+tga)(l+tg?)—2. Найти a + ?.
32. Дано: cos а + cos ? — a, sin а + sin ? == b. Найти cos (я + S) и sin (a + ?).
a V 7
33. Найти tgy, если sin a+ cos a = Лт- и 0 < a < 45°.
34. Выразить cos a и sin ? через Л и Б, если
sin a = Л sin ?, tg a = 5 tg ?.
35. При каких значениях а и b возможно равенство
sin a + sin b = sin (a + &)?
З лг 5jc
36. Дано cosx —-^. Вычислить 32 sin у sin-^-.
37. При каких значениях п выражение
sin nx
. X
sin — п
имеет период 4^.
§ 8. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
4
38. Известно, что sin ? = -g-. Чему равно выражение
V1S sin (а + ?) — 2 sec |- cos (а + ?)
a) если угол ? острый; б) если угол ? тупой?
39. Вычислить без таблиц:
а) (tg7°30>+tg37o30/ + tg67o30/)(tg22o30' + tg52°30 + tg82c30/);
(я \16 / т- \16
2slnir) +(2с05-ш) •
40. Найти наибольшее и наименьшее значение каждой из следующих функций:
а) и cos X +• Ъ sin л:;
б) a sin2 jc + 2? sin X cos jc + ccos2 х.
41. Вычислить:
a) cos 18°; б) cos ; в) sin-^-; г) sin 9°;
д) cos9°; е) sin 15°; ж) cos 15°; з) tg 15°; и) sin7°30'; к) cos7c30'; л) tg7°30'; м) tg22°30'; н) ctg22°30'; о) cos 33 ~; п) tg 142°30'. *
42. Найти tg я+ ctg я, если а = (/?+--±т: .
43. Доказать, что
V тс , Зтс , , 17тс 1
а) cos-^ + cos-j^+ ... +cos-jo- = ^;
-ч 2тс' 4тс . , 20тс 1
б) COS-2J-+ COS 2J-+ ... +COS-gy-= — j.
44. При каком значении х функция
у = sin + Зх) cos (jc + ?)
принимает наибольшее и наименьшее значения?
45. Найти угол х, если известно, что
а) 0<х<^;
б) ~ — число рациональное;
в) cosx — число рациональное.
46. Рассмотрим функцию
у = cos2 X + sin X cos jc,
где
— < х < 2"'
1°. Выразить у через tgx.
2°. Дано значение у. Вычислить t = tg jc. Исследовать. Исследовать знаки
соответствующих значений у. 3°. Доказать, что между двумя решениями V и соответствующими
заданному значению у, существует соотношение, не зависящее от у. 4°. Можно ли выбрать у так, чтобы для двух соответствующих значег-
ний х' и jc" удовлетворялось условие
tg 2jc' = tg 2jc"? Вычислить в этом случае tg хг и tg x,r.
Глава XXX
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ
§ 1. Тригонометрические соотношения между элементами треугольника
В настоящей главе* принимаются следующие обозначения: Л, ВС— вершины и соответствующие внутренние углы треугольника ЛВС; at Ь, с — стороны, соответственно противолежащие углам Л, В, С;
2р — периметр;
ha, hb, hc — длины высот;
mfl, ть, тс — длины медиан;
la, lb, I0—длины биссектрис внутренних углов Л, Я, С; /*, Гь, Г—длины биссектрис внешних углов Л, В, С; s — площадь;
R — радиус описанной окружности;
г — радиус вписанной окружности;
га* гь> гс—радиусы вневписанных окружностей;
