Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
A1, Bx, C1—основания высот;
А', Л". Л'" —середины сторон ВС, CA и AB;
D1, D2, D3 — точки пересечения биссектрисе внутренних углов Л, B1 С с противоположными сторонами;
Dfx, Ц', D[} — точки пересечения биссектрисе внешних углов треугольника ABC с противоположными сторонами;
Ог — центр описанной окружности;
О, Оа, Ob, O0 — центры вписанной и вневписанных окружностей; О'' — точка пересечения медиан; Al—точка пересечения высот;
E1, E2, — точки прикосновения вписанной окружности со сторонами ВС,
касаются вневписанных окружностей.
Доказать (№ 1 —15), что во всяком прямоугольном треугольнике имеют место следующие соотношения (С — прямой угол):
CA и AB;
Fra, F'b, F'c, F"a% F'rh% F"c—точки, в которых стороны или их продолжения
1.
sin Л -j- cos А = sin В + cos В. (sin Л -j-cos В): (sin В + cos Л) = tg Л.
4.
3.
b — а
* Если нет оговорок, указывающих на другие обозначения.
§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ 365
°" *> '1 '' V с'-]- а — " 1 " с -j- а
7. sec2? —te24 = а + *
8. s = 4-sin2?.
^ сіп 9Я
9. tg2A
10. sin (? — А) =
П. cos(?—Л):
12. cos (20 —Л) =
?2 — а' ' № — ^
13. /? ~ с У 2 cos-^- eos-?f .
14. H1 = - sin 2? = 2/? У" 2 sin 4 sin
15.
sin2 ? cos- /і c\(b\a?) sin- Д s і a'* Л л'ЭД-
Доказать (N2 1G — 26), что при выполнении следующих условий треугольник будет прямоугольным (С = 90°): 16. 2[1 —cos(? — А)] : (1 — cos 2B) = (b — а)-:*2.
о-^о-їн-.
19. s = p(p —с) = (р — a)(p —b).
20. с : а : b = a:) : o6 : аю (й-, о,., Ci10- стороны правильных вписанных в один и тот же круг 5-, 6- и 10-угольников).
21. Если расстояние между центром описанной окружности и точкой пересечения высот равно половине одной из сторон треугольника.
22. 8/?2 = fl2-f 62-}-с2.
23. rc^r-\-ra + rb.
24. rrt = rarb.
о- . r> n л sin B 4- sin A
25. sm C cos B cos A = -----......----.-.
sec B -j- sec A
26. cos2 A 4- cos2 B — cos2 C = 1.
/!оказать (№ 27—31). что при выполнении следующих условий треугольник будет или прямоугольный или равнобедренный:
27. (P -f- с2) sin (С — В) = (P - P) sin (С + В).
28. ' to- ? : to- А = sin2 В : sin2.4.
20 cos C -j~ 2 cos A _ sin #
cos C -f-2 cos # "siti Л "
30. Если квадраты двух сторон относятся как их проекции на третью сторону.
366 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
31. 1 -f-cig(45° — В) = 2 : (1 — ctg Л), As = C2 (и равнобедренный и прямоугольный).
Доказать, что во всяком треугольнике имеют место следующие сооотно-шения:
а* — Ъ* _ sin (Л — Z?)
с* " " sin С ' -
32.
33. sin ^ = ^(p=MS^L
35.
n. A р(р—-а)
34. cos у- =.- |/ - Кґ--------'
be
g 2 p — fr , ? ~~~~р — а'
37 t,Ato-.^+to-t-C
. Л . B p — с . C
38. sin у sin у = ±—— sin ~ .
A B p . C
39. cos Y cos Y = с Sin ~'>~ *
я (я + с— 6)__1 — cos Л
40.
41. S =
b (b -f с — а) 1 — cos ? ' c2 sin Л sin ?
2 sin C
42. s = o# sin ? sin C.
43. s = 2R2 sin Л sin ? sin C.
44. s (sin Л -f- sin ? + sin C) = 2/?/? sin Л sin B sin C =
= p2 (cos Л cos B -f- cos C — 1).
45. s = p(p — a)tg-y.
Л
46. s = (p —b)(p —с)ctgT .
. Л . ? . C
47. s2 = a&c/? sin у sin sin ^ .
ч • A B c
48. s2 = abc (p — a) sin ^ cos у cos-^-.
49. 5 = p2tgTtg-2-tgT.
Л Z? C
50. ^ = (P — a)2 tg Y ctg у ctg .
Л ? C .
51. /7S = a&c cos у- cos -^cos -y.
52. Y = ctg у + ctg -y -+ ctg T.
_|_ c«? ^
53. 5= -^5-tgA
cfl + b-+ c* (д* 4 b* -f c2) sin Л sin B sin C
54e 45 — ctg Л + cig ? 4- cig C~"2 (sin2 Л + sin* ? + sin* C)
§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
367
55.
56.
57.
58. 59. 60.
61.
62. 63.
64.
65. 66.
67.
68. 69. 70.
71.
72. 73.
74.
75. 76. 77. 78.
79. 80.
81. 82.
a + b = ARcc^
COS
а — b= AR sin у sin
A-B
2
А — В
. и , on Л В С
а~\-о -\-с = 8R cos -j cos -^- cos -^-
iu on • Л . ? C
я -j- Z> — c=SR sin ¦y sin -^- cos -^-.
a*-b2 = AR2 sin C sin (Л — S). (a + b)2 — c2=\ QR2 sin Л sin B cos2
C
a2 - (b — c)2 = \6R2 sin B sin C sin2 у .
2/? fhJhhc = fa2b42. a cos Л -j- # cos В-\~ с cos C= AR sin Л sin Б sin C
Л -? С
2sp2 = Rp2 (a cos Л -f- # cos ?-f с cos C) = 8aftc R cos2 у cos2 -^- cos2 .
Z>c sin2 A = a2 (cos Л + cos B cos C). o (cos A + cos я cos C) = b (cos ? -j- cos Л cos C) = с (cos C -j- cos Л cos ?).
sin2 A _ cos A cos B . cos ?? cos C , cos C cos A
a? ab ' &c
a (sin B — sin C) + b (sin C — sin A) + с (sin Л — sin S) = 0.
a sin (S — C) + b sin (C — A) + с sin (Л — B) = O.
a3 sin (S — C) + b3 sin (C — Л) + c3 sin (Л — S) = O.
c2 sin (A — B)
лЫп(? —C) , b** sin (C — Л)
----------------_l-------------- ------------
- = 0.
sin A 1 sin # T sin C
(a2 — 62) ctg C + (62 — с2) ctg Л + (с2 — a2) ctg S = 0-a sin (S — C) cos (S + C — Л) + b sin (C — A) cos (C -f- Л -+ с sin (Л — S) cos (Л-(-S — C) = 0.
