Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим примеры. Пример 1. Решить неравенство
7 cos х + 12 sin2 X < 13.
«
Решение. Функция 7cosAr-f-12 sin2 X определена при всех значениях х. Решаем уравнение
7 cos X —|— 12 sin2a:= 13,
или или * или
Находим
12(1 — cos2 а:)+ 7cos а:— 13 = 0, — 12 cos2 X -f- 7 cos X — 1=0, 12 cos2 а: — 7 cos х -f- 1 =0. 7 + /49 - 48 7±1
cos X :
Отсюда
24 ~~ 24
1 . ... 1
COS X =-к- или cos X = -г у 3 4
следовательно, на сегменте [0, 2тс] уравнение 7 cos а:+12 sin2 а:= 13 имеет следующие корни (располагаем их в порядке возрастания):
1
X1 = arc cos -g-, 1
X2 = arc cos —,
X3 = 2т: — arc cos ¦^-,
a:4 = 2тс — arc cos ~.
Разобьем сегмент [0, 2тс] на следующие полуинтервалы и интервалы: [0, X1), (at1, х2), (х2, х3), (х3> х4), (х4, 2тс]. Данное неравенство можно переписать в виде
(3 cos X — l)(4cosx— 1)>0.
В случае
0<х< X1, 3 cos X — 1 > 0, 4 cos X — 1 > 0,
следовательно, при всех х из полуинтервала [0, X1) данное неравенство будет
выполнено.
В случае
*1 < X < X2
будем иметь:
3 cos X — 1 <! 0, 4 cos X — 1 !> 0,
Тригонометрия. Пь XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
339
и, значит, для всех х из сегмента [jc1, х2\ данное неравенство не будет выполнено. В случае
х2 ^ % <^ JC3
будем иметь . ' .
3 cos X — 1 < 0, 4 cos X — 1 < 0;
данное неравенство выполнено для всех х из интервала (хг, Jt3).
Аналогично убеждаемся в том, что данное неравенство не будет выполнено для всех X из сегмента [jc3, jc4] и будет выполнено для всех X из полуинтервала (jc4, 2тс].
Так как функция 7 cos * + 12 sin2 х— 13 периодическая и период ее равен 2тс, то окончательно будем. иметь следующий результат. Все решения данного неравенства будут:
2кк jc < 2&тс + arc cos у,
2&Tc + arccos ^ < jc < 2 (k-\- 1) ти — arc cos-^-,
2(& + 1) ті — arc cos-|-< X ^ 2(k + 1)тс.
Пример 2. Решить неравенство
tg.K + ctgjc< —3.
Решение. Функция
tgJC+Ctg JC
периодическая и ее период равен тс.
Исследуем поэтому эту функцию только на сегменте [0, тс]. Точки 0,
у, 7г из этого сегмента не входят в область определения функции tgх + ctgjc.
В остальных точках сегмента [0, тс] функция tg;c + ctg;c определена. Найдем корни уравнения
tgAT+ctgA: = —3
на сегменте [0, тс]. Имеем:
sin2 jc -f- cos2 jc__?
sin jc cos X *
sin 2jc = — -j.
Отсюда находим корни уравнения tgjc + ctgjc = — 3: •.. -
. 2
2jc = Tc + arc sin у, 2
2jc == 2тс — arc sin ,
следовательно,
it , 1 . 2 ^1=2"+ y arc sin"3 »
1 . 2 jc2 = тс — Y arc sin у.
Теперь надо исследовать знак функции ig x-\-dg х-\~Ъ в каждом из интервалов и сегменте:
(О, (j> *2], (?. 7O-
22*
340
Тригонометрия:. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
В интервале (о, —J имеем tg л:-f-ctg л;-f-3 > 0; ;
в интервале , X1^j имеем tgx + ctg.x; + 3 < 0;
на сегменте [X1, X2] имеем tg х + ctg х + 3 0; в интервале (лг2, имеем tg х +ctg х + 3 < 0.
Следовательно, все решения данного неравенства, расположенные на сегменте [0, тс], даются формулами
тс. тс . 1 .2
2" < *<-"2" + у arc sin у,
1 . 2' .
тс — arc sin < X < тс,
а все решения данного неравенства будут:
kr, + ~ < л: < &тс + ^ + -і arc sin -|,
for + тс — -^- arc sin -g- < л: < Ы + тс, где k — любое целое число.
§ 1. Тригонометрические уравнения с одним неизвестным
Решить следующие уравнения:
1. sin2 X + sin2 2х = sin2 З* + sin2 4x.
2. sin (тс cos л:) —cos (тс sin л:).
3. tg (40°+ *) ctg (5°=
З
4. sin2 X + sin2 2x + sin2 Ъх = .
Б. sin X sin 2x sin 3* = ^ sin 4*.
6. sec X = 4 sin x +• 6 cos *.
7. cos2 * + cos2 2x + cos2 З* + cos2 4x = 2.
8. sin4 X + sin4 (^x + + sin4 — "f) = |" •
9. tg (тс tg л:) = ctg (тс ctg x). 10. sin4 X + sin4 (x + = 1.
11 • sin2 X + sin2 a + sin2 ? + 2 cos a cos ? cos л: == 2.
12. sin4 J+ cos4 у = ~.
13. (sin X + cos x) Y% = tg л: + ctg х.)
14. sin2*+tgAr = 2.
16. Sin6 X + COS6 X = yg .
16. sin4 л; + cos4 х — 2 sin 2x + -| sin2 2x = 0.
17. sec * + cosec x + sec л: • cosecx == 5.
18. *x = ^(j-l)-
§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 341
19. tg X + 2 ctg 2х = sin X [\ + tg X tg yj.
. /5тс \ 1
20. sin I -g- cos 7ZX) = Tj-.
21. 2 ctg 2х — 3 ctg Зл; = tg 2х.
22. sin4 л: + cos4 X = g-.
23. (sin 4л: — 2 cos 4л;)2 + (cos 4л: — 2 sin 4л;)2 = 3.
24. sin X + cos X = V 2 sin 5x.
25. cos л: -(- cos (*+-?¦) + cos(x + ¦y-) = 0.
26. sin л: sin 7лг = sin Зл; sin 5x.
27. sin X sin Зл: +- sin блг sin 10x = 0>
28. sin at sin (X + 60°) sin (x + 120°) = ¦i.
20 (cos x + sin x)2 — sin 2a _2
cos4 x + 4- sin2 2a: 1 4
2sln24 + 3cos24 — 2 ,
OU' Sin2 2A(l + Ctg22A) ~~ 2*
31. 4 cos2 X-\-sin X cos л: -[— 3 sin2 x = 3.
32. 1—sinoA: = {cos-2--sin~2~) •
33. sin2 AT — COS2 AT = cos — .
34. tg7A: + tg3A: = 0.
35. , 2 cos 2a: + 2 cos 4л:+ 3 sin2 2л:= 1.
