Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 151

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 145 146 147 148 149 150 < 151 > 152 153 154 155 156 157 .. 381 >> Следующая


4е. Найти, какому уравнению удовлетворяет cosjc, если

cos Зх = cos Ах.

Доказать, что значения cos х Ф 1 удовлетворяют уравнению третьей степени; дать геометрическую интерпретацию корням этого последнего уравнения.

§ 2. Системы тригонометрических уравнений

Решить следующие системы уравнений:

tg* + tg.y=l.

sin X _ т

^ sin у ~п 1

X + у = а.

3. cos (х + у): cos (х — у) = -^-, sin х siny = .

§ 2. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ

349

1

4. sin л: sin у==—=,

* 4/2

б, sin xcos у =-j-,

3tgx = tg.y.

6. х + .у = ср,

cosxcos j; = а.

7. sin x = cosec x + sin yt

cos x = sec x + cos y.

8. x + j/=135°,

9. y — x = 30°,

tgx + ctgj/= —3—.

/3

10. sin x sin _y = —1J—»

Уз-cos x cos у = ~-.

X+ у x— у 1

11. cos T/ cos 2 Y'

1

cos x cos у = -?л

12. х+.у + г = тс,

tgxtgj/ = 3, igyigz = €>.

13. tgj + tg-|- = a,

l +#cos j/:

l — 6 cos X *

14. лг + j/= y,

Sin (ТГХ) -f - Sin (7CJ/) = 1.

16. x-\-y = ?,

2 cos (тех) + 4 cos (tcj;) = 3.

16. * + y = -j>

tg (тех)+ tg (тс ^) = 2/3.

1

4 '

17. *+^= e

У2

coe (tcx)cos (tc j;) = —g-, 3

18. sin (тех) + sin (тсy) = у ,

Уз

cos (тех) + cos (tcj/) = ~" '

Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

з

sin (тех) sin (тсу) =

tg (?x)tg (*у) = 3. sin fox) _ cos (тсх)

Sin (тсу) * COS (тіу)

tg-y- + tg-/ =а,

1_?2

1 + ? COS (TCy) = -з-7-7-Г

1 4 1 — 6 COS (тіХ)

tg(^) tg (7С2Г) = 2.

tg(Tcy) tg(Tc*) =18,

tg

COS

[-

x+y x + y j—1'

= 0, xy = ^

32 x 1 у

n

arc sin X = arc cosy,

COS-—і— = 1.

x + y

arc sin X = — arc cos y, cos[3Tc(x + y)] = L

X2 + y2 = 16, Tg[TC(X-У)]=1.

sinX +-sinу = a, cosx + cosy = где а ф 0 и ?=^ 0.

sin x 2

cos(x + y) = 0,

sin у 3 *

tg* + tgy = tgi + tg-|- = 2.

sin X + sin у = sin X+cos у = ^. sin X cos y = b. COS X cos у = ^. tgxtgy = ?. tgx + tgy = ?. tg* — tgy = ft.

1

x + y = a, x + y = a, jc + у = a, x + y = a, X +- у = a, x+y = a, x + y = a,'

jc + у = 54°, sin X cos у — 4 .

sin X = cos 2 y, sin 2x = cos у.

je+у = a, & sin X+ с sin у = d. ~\

X — у = af bcosx— ccosy = flf.

X + у = ~, sin (x + a) — sin (x — #) + 2 cos2 ~ = k.

3 (sin X — sin y) = 4 (sin 2x —sin 2y), 3 (cos X — cos y) = 4 (cos 2 x — cos 2y). sin 2x + sin 2y == 3 (sin x + sin y), cos 2x + cos 2y = cos X + cos у.

§ 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

351

45. cos * sin у — tg X ctg у = 0, ctg х ctg у = 1.

46. X -f- у -f- z = тс, sin л:: sin у : sin z = 2 : 3 : 4.

47. * + y-f-2 cos* : cos у :cosz=at a : ft : с.

48. х + у + г = ~, ctg* : ctg у : ctg 2 = 0 : ft : с.

49. X + у = 2z, sin * : sin у : sin z = a : ft : с

50. X (sin у -j- sin z) = a,

* (cos у + cos z) = ft,

* (sin 2* + sin 2y) = c.

51. Найти самый общий вид решений неопределенной системы:

tg* = tg(y — Z)9 tg у = tg (z — x).

Как изменятся эти решения, если к заданным уравнениям добавить условие tgz = otg(* — у), где а — какое угодно число?

§ 3. Решение тригонометрических неравенств

Решить следующие неравенства:

1. sin4 * — 6 sin2 X + 4 > 0.

2. tg3* —ctg3*< 7,875.

3. 4sin*sin 3* > 1.

4. 2sin*sin3*< 1.

5. tg*tg3*< —1.

6. sin2 2* > sin2 * -f - ~.

7. tg2* + sec2*>7--^p~.

8. sin * -j- cos* < V2.

9. sin*-f-oCOS* < а, афО.

10. sec*< 2|sin*-|~cos*|.

^ У*3 *

11. cosec * <-L3— cosec у .

12. sin 4* 4 sin 3* cos * < 0.

, * ^ sin*

ІЗ- ^2">—ЗГ-

} COS-y

14. 1 — cos * < tg * — sin *.

15. tg*(l+cos2*)< cos2*tg2*.

16. . sin * -\- sin 2* -f- sin 3* < 0.

17. - tg3* + tg2*> 1+Ig*.

18. tg* + tg2* + tg3*>0.

19. tg 2* < sin * -j- tg *.

20. 2 sin2 Zx + sin2 6* < 2.

352

Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

2h tg2* + ctg2*>2.

22. * cos* > sin2,* — cos2*.

23. 4 sin * cos* (cos2 * — sin2 *) < sin 6*.

24. sin 7* cos 7* < J- (3 — 4 sin2 5*) sin 5*.

25. sin 5* + cos 5* + sin 7* + cos 7* < 0.

26. sin 7* + Y3 cos 5* > sin 5* +1^3 cos 7*.

27. sin * + sin 3* < sin 2* + sin 4*.

28. cos * cos 3* < cos 5* cos 7*.

29* % tg 2* ^ tgx + 2 '

30. sin (тг*) > cos (тсVх)-

tg(-_,)+lg(-+,)<l/^.

32. sin3*<sin*+-J.

33. tg 2* < 8 cos2 * — ctg *.

34. sin (-^J cos *) < cos (-^J sin *).

35. cos4(45°— j)>-^-(2cos2* — 1).

36. sin5* > 16sin5*.

37. 4sin*sin5* > 1.

38. 8 sin * sin 2* sin 3* sin 4* < 3.

3

39. cos3 * sin 3* -+- sin3 * cos 3* < -^-.

40. sin4 * -+- cos4 * > a.

41. sin[Tr(* + 3a)]< 3sin[Tr(a — *)], — 1 <a< 1.

42. cos2 ^r- 4~ cos2 (тс*) + cos2 [тг + *)] < 1 -+- 2 cos cos [тс (1 + *)].

43. ' tg(Tc*) + tg(2Tr*)<0.'

44. sin->0.

*

*6- tg > 1. (

& 4 (* + 1) ^

46. sin(2Ttcos*) > 0.

47. Изобразить графически множество решений неравенства

sin[Tc(* + y)]>0. t

48. Изобразить графически множество всех решений следующей системы неравенств:
Предыдущая << 1 .. 145 146 147 148 149 150 < 151 > 152 153 154 155 156 157 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed