Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
4е. Найти, какому уравнению удовлетворяет cosjc, если
cos Зх = cos Ах.
Доказать, что значения cos х Ф 1 удовлетворяют уравнению третьей степени; дать геометрическую интерпретацию корням этого последнего уравнения.
§ 2. Системы тригонометрических уравнений
Решить следующие системы уравнений:
tg* + tg.y=l.
sin X _ т
^ sin у ~п 1
X + у = а.
3. cos (х + у): cos (х — у) = -^-, sin х siny = .
§ 2. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
349
1
4. sin л: sin у==—=,
* 4/2
б, sin xcos у =-j-,
3tgx = tg.y.
6. х + .у = ср,
cosxcos j; = а.
7. sin x = cosec x + sin yt
cos x = sec x + cos y.
8. x + j/=135°,
9. y — x = 30°,
tgx + ctgj/= —3—.
/3
10. sin x sin _y = —1J—»
Уз-cos x cos у = ~-.
X+ у x— у 1
11. cos T/ cos 2 Y'
1
cos x cos у = -?л
12. х+.у + г = тс,
tgxtgj/ = 3, igyigz = €>.
13. tgj + tg-|- = a,
l +#cos j/:
l — 6 cos X *
14. лг + j/= y,
Sin (ТГХ) -f - Sin (7CJ/) = 1.
16. x-\-y = ?,
2 cos (тех) + 4 cos (tcj;) = 3.
16. * + y = -j>
tg (тех)+ tg (тс ^) = 2/3.
1
4 '
17. *+^= e
У2
coe (tcx)cos (tc j;) = —g-, 3
18. sin (тех) + sin (тсy) = у ,
Уз
cos (тех) + cos (tcj/) = ~" '
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
з
sin (тех) sin (тсу) =
tg (?x)tg (*у) = 3. sin fox) _ cos (тсх)
Sin (тсу) * COS (тіу)
tg-y- + tg-/ =а,
1_?2
1 + ? COS (TCy) = -з-7-7-Г
1 4 1 — 6 COS (тіХ)
tg(^) tg (7С2Г) = 2.
tg(Tcy) tg(Tc*) =18,
tg
COS
[-
x+y x + y j—1'
= 0, xy = ^
32 x 1 у
n
arc sin X = arc cosy,
COS-—і— = 1.
x + y
arc sin X = — arc cos y, cos[3Tc(x + y)] = L
X2 + y2 = 16, Tg[TC(X-У)]=1.
sinX +-sinу = a, cosx + cosy = где а ф 0 и ?=^ 0.
sin x 2
cos(x + y) = 0,
sin у 3 *
tg* + tgy = tgi + tg-|- = 2.
sin X + sin у = sin X+cos у = ^. sin X cos y = b. COS X cos у = ^. tgxtgy = ?. tgx + tgy = ?. tg* — tgy = ft.
1
x + y = a, x + y = a, jc + у = a, x + y = a, X +- у = a, x+y = a, x + y = a,'
jc + у = 54°, sin X cos у — 4 .
sin X = cos 2 y, sin 2x = cos у.
je+у = a, & sin X+ с sin у = d. ~\
X — у = af bcosx— ccosy = flf.
X + у = ~, sin (x + a) — sin (x — #) + 2 cos2 ~ = k.
3 (sin X — sin y) = 4 (sin 2x —sin 2y), 3 (cos X — cos y) = 4 (cos 2 x — cos 2y). sin 2x + sin 2y == 3 (sin x + sin y), cos 2x + cos 2y = cos X + cos у.
§ 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
351
45. cos * sin у — tg X ctg у = 0, ctg х ctg у = 1.
46. X -f- у -f- z = тс, sin л:: sin у : sin z = 2 : 3 : 4.
47. * + y-f-2 cos* : cos у :cosz=at a : ft : с.
48. х + у + г = ~, ctg* : ctg у : ctg 2 = 0 : ft : с.
49. X + у = 2z, sin * : sin у : sin z = a : ft : с
50. X (sin у -j- sin z) = a,
* (cos у + cos z) = ft,
* (sin 2* + sin 2y) = c.
51. Найти самый общий вид решений неопределенной системы:
tg* = tg(y — Z)9 tg у = tg (z — x).
Как изменятся эти решения, если к заданным уравнениям добавить условие tgz = otg(* — у), где а — какое угодно число?
§ 3. Решение тригонометрических неравенств
Решить следующие неравенства:
1. sin4 * — 6 sin2 X + 4 > 0.
2. tg3* —ctg3*< 7,875.
3. 4sin*sin 3* > 1.
4. 2sin*sin3*< 1.
5. tg*tg3*< —1.
6. sin2 2* > sin2 * -f - ~.
7. tg2* + sec2*>7--^p~.
8. sin * -j- cos* < V2.
9. sin*-f-oCOS* < а, афО.
10. sec*< 2|sin*-|~cos*|.
^ У*3 *
11. cosec * <-L3— cosec у .
12. sin 4* 4 sin 3* cos * < 0.
, * ^ sin*
ІЗ- ^2">—ЗГ-
} COS-y
14. 1 — cos * < tg * — sin *.
15. tg*(l+cos2*)< cos2*tg2*.
16. . sin * -\- sin 2* -f- sin 3* < 0.
17. - tg3* + tg2*> 1+Ig*.
18. tg* + tg2* + tg3*>0.
19. tg 2* < sin * -j- tg *.
20. 2 sin2 Zx + sin2 6* < 2.
352
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
2h tg2* + ctg2*>2.
22. * cos* > sin2,* — cos2*.
23. 4 sin * cos* (cos2 * — sin2 *) < sin 6*.
24. sin 7* cos 7* < J- (3 — 4 sin2 5*) sin 5*.
25. sin 5* + cos 5* + sin 7* + cos 7* < 0.
26. sin 7* + Y3 cos 5* > sin 5* +1^3 cos 7*.
27. sin * + sin 3* < sin 2* + sin 4*.
28. cos * cos 3* < cos 5* cos 7*.
29* % tg 2* ^ tgx + 2 '
30. sin (тг*) > cos (тсVх)-
tg(-_,)+lg(-+,)<l/^.
32. sin3*<sin*+-J.
33. tg 2* < 8 cos2 * — ctg *.
34. sin (-^J cos *) < cos (-^J sin *).
35. cos4(45°— j)>-^-(2cos2* — 1).
36. sin5* > 16sin5*.
37. 4sin*sin5* > 1.
38. 8 sin * sin 2* sin 3* sin 4* < 3.
3
39. cos3 * sin 3* -+- sin3 * cos 3* < -^-.
40. sin4 * -+- cos4 * > a.
41. sin[Tr(* + 3a)]< 3sin[Tr(a — *)], — 1 <a< 1.
42. cos2 ^r- 4~ cos2 (тс*) + cos2 [тг + *)] < 1 -+- 2 cos cos [тс (1 + *)].
43. ' tg(Tc*) + tg(2Tr*)<0.'
44. sin->0.
*
*6- tg > 1. (
& 4 (* + 1) ^
46. sin(2Ttcos*) > 0.
47. Изобразить графически множество решений неравенства
sin[Tc(* + y)]>0. t
48. Изобразить графически множество всех решений следующей системы неравенств: