Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
tg!*(*+¦ У)] >0. tg [w(x- у)]>0.
49. Изобразить графически множество всех.решений неравенства sin(Tr*y) >0.
§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ 353
23 П. С. Моденов
§ 4. Доказательство тригонометрических неравенств
Доказать следующие неравенства:
L Если 0 < X < у, то
а) tg*>x; б) sin * < л'; в) ctg*>cosx;
г) sin X cos л: < Y; д) sin х -f- cos х </|/% е) tg х + ctg х > 2.
2. Если 0<jk<~, 0<у<у. то
а) sin(A; + y)< sin х-}-sin у; б) sin(.x: + y)< cos x + cosy.
3. Если 0<x<-J, 0<у<~ и 0<х + у< |-, то
a) 0<tg*tgy< 1; б) tg(* + y)<tg* + tgy.
4. Если 0<*<|, 0 < у < 0 < 2 < |, 0< X + у +z< -~, то
sin(.x: + y+ z) < sinX + sinу + sinz.
б. Если 0 < X < у, то
Vcos X < У^2 cos у.
6. Если Л, ?, С — углы треугольника, то
а) 8 sin -у sin -у sin у <; 1;
б) cos -у- cos -j- cos ~y < -g- У 3;
в) sin2 + sin2 -|- + sin2 ~ > -|;
. r) sin Л + sin Б + sin C > sin 2Л + sin 2B + sin 2C.
7. Доказать, что если
0<a<?<|.
то
а — sina< ? — sin p.
8. Доказать, что если
0<a<~, 0<?<~, 0<7<|, a + ? + T=z,
то
9. Дано:
.- 0<a<J, 0<В<|, 0<Т<|,
Доказать, что неравенства
0<a + ? + T<y будут выполнен^ тогда и только тогда, когда
tg*tgP-Mg:Btffr+tgTftg.a<l.
354
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
10*. Доказать, что если
то
0<а<р<4>
sin a ^ sin ?
И*. Доказать, что если
то
0<a<?< J.
12. Доказать, что если
0<а<-|. 0<р<|. 0<Т<|, в + р + т = |,
ТО
Vo + tgatg? + /o + tg?tgy + /54~tg7tga< 4/зТ
13. Доказать, что если
0<a<?<|,
то
a — tg а < ? — tgp.
14. Доказать, что
^7Г^Т-28ІП? + 8ІП7ГТТ>0'
где п — натуральное число, большее или равное 2.
15. Дано:
0<a<J, 0<?<J, 0<T<J, a+?-bY = J.
Доказать, что тогда
- tg2« + tg* ? -Ь tg* т - tg« a tg« ? tg« T > §¦.
16. Доказать, что fee ли Л-j-?-j-C = -^-, то
tg2^-ftg2? + tg«C>l.
17. Доказать, исходу из равенства
что если
sinA;=:2tgyeos2|-,
0<*<-J,
то
ХЪ
О < *--j- < sin X < ЛГ.
18**. Доказать, что если 0<x<y, то
хъ
О < л:--g- < sin X < *.
19**. Доказать, что если 0<лг< J-, то
X^ X^ X^
О < X — -g- < sin д; < лг — -g- + -J55-
§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
355
20. Доказать, что если 0 < л:< -g-, то
2д:2
sin X > X —• -.
21. Доказать, что если 0<х<-^, то
1--2~ <cosx< 1.
22. Доказать, что если 0<д:<^, то
х~\- cos*>j(l —~У 23**. Доказать, что если 0<х<-^, то
JC3 X* Xі
1--r<cosj:< 1 —-2-4 •-Jg.
24**. Доказать, что если 0 < х < ~ , то
1--j- < cos j: < 1--j- 4- -?-
26. Доказать, что если 0<дг<-^-, то
tgx>x + ^.
TC
26. Доказать, что если 0 < х < , то
1, . 2 . . у tg X + у sin л: > х.
27. Исходя из результатов задач 18, 19, 21, 24, установить ошибку приближенных равенств:
X ^ X-
1) sin X ~ х; 2) cos х ^ 1; 3) sin х ~ х--g-; 4) cos jc = 1 — -^- ,
считая 0 < X <
28. Доказать, что если 0<л:<^-, то приближенное равенство < X»
Sin --JT-
O
верно с точностью до 0,0005. 29. Доказать, что если
°<*<30'
то приближенное равенство
sin X ^ X верно с точностью до 0,0005.
То
30. Доказать, что если 0<л:<~, то приближенное равенство
COS X = 1--2"
верно с точностью до 0,0005. 23*
356
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
31. Доказать, что если 0 < х < ^ , то приближенное равенство cosx
верно с точностью до 0,0005.
32. С какой точностью верно равенство
sin Г = sin 0,0175453 = 0,0175453?
§ 5. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под знаком аркфункции
Решить следующие уравнения:
1. arc sin (1 —¦ л*) — 2 arc sin х = »-.
2. arc tg (л* ~f О -f arc tg (х — 1) ~f arc tg х = 0.
3. arc sin —]L- ~- arc sin VT —¦ x =- 4.
У X 2
4. 2 arc ig X + 3 arc ctg x ~-~ .
5. sin arc cos x j = 1.
6. arc sin X + arc cos (x ~f- 1) = ^ .
7. arc cos X = arc ctg x.
8. arc sin (3x -j- 5) 4" arc sin (1 ~~ x) ¦
4 '
"4''
9. arc tg (x2 4- x) 4- arc tg (x2 — x) --
10. arc sin (2x 4" O — arc cos x.
11. arc tg -f- arc tg ~ = arc ig x.
.3x.. 4x
12. arc sin -=—\~ arc sin -~ -= arc sin x.
13. arc cos (x У З) 4~ arc cos x -— .
14. arc sin 2x = 3 arc sin x.
x_ l
16. arc ig ~-—= 2arctg(x— 1).
16. * are cos [ctg (2 arc tg x) ] — 0.
17. X = arc ctg (2 ctg x).
13. arc sin X 4" arc sin (x ]/ З) — '0 .
19. arc tg X 4~ arc tg 3x = 4f.
20. arc tg (X 4-1) — arc tg (x — 1) = .
21. arc sin X — arc cos x = arc cos —- .
22. arc tg (x 4- 1) 4~ arc tg (x — 1) — arc ig 2.
23. arc sin X 4- arc sin 2x 4 •
§ 5. УРАВНЕНИЯ. СОДЕРЖАЩИЕ АРКФУНКЦИИ
357
24. arc tg —--arc tg —~~т = arc tg а.
to х — 1 0 X ~f 1 o
25. arc ctg X -j- arc ctg (x -f- 1) = ~~.
26. arc sin X • arc cos x = a2.
27. arc tg (x — 1)-(- arc tg x ~j- arc ctg (x -f- 1) = arc tg 3x.
28. arc cos x = arc tg x.
X 7*
29. arc sin X -f- arc sin у = --.
