Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
157. 4 sin (2л: + 20°) — cos (2л: + 200°) == 3.
158. 2cos 3x4- 19,9 sin Зх = 17,32.
159. sin (л: 4- -j- cos (л: 4- ~) = a.
160. sin у -\~ cos ~ = V*2 sin л:.
161. sin (л: 4- 60°) 4- cos (x 4- 60°) = 2 sin (2л: 4- 120°) — 11.
162. sin — a) 4- cos (~ — a) = V2 sin (x + 2a).
163. sin(x+ -p) — cos [x + l>) — sin^ — -^). ,64. sin (^— |) + cos - - J) = V^cos (x + і).
165. cos (/nx 4~a) — sin (mx 4~ a) = V% cos (nx 4~ ?).
166. cos2<x 4- 30°) 4-cos2 (x — 30°) = |-.
167. cos2 (x — jj — cos2 (x 4- -J) = 0,5.
168. sin2 (x 4-а) 4- sin2 (x— a) = a.
• ot X , 2ti\ . 9/x 2tz\ |/"3
169. sin2 (-g- 4- X) - sin2 (T - x) = — .
170. sin2(2x 4- 150°) 4-cos2(2x — 150°) = 0,137.
171. sin2 (mx 4-а) — cos2 (mx — a) = a.
172. cos X = cos 2x — cos 3x.
173. cos (270° 4- 5x) + sin (3x 4- 90°) 4~ sin (360° — x) = 0.
174. cos ^2x — — cos ^4x — = sin ^2x — -~j.
175. cosx — cos 17x= 1 4~ 2 sin 8x sin x— cos 16x.
176. 14- cos 2x 4- cos 4x = sin 2x + sin 4x4- sin 6x.
177. tg 3x — tg 2x 4- tg X = 0.
178. ctg (-^ - Зх) 4- tg (тс - 2x) + ctg (x + -J) = 0.
179. cos nx 4" cos [(n .4- 2) x] = cos x.
346
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
180. sin * + cos пх = cos [(п + 1) х]> п — целое положительное число.
181. tg2x = tg7x.
182. sin (пх) sin (тх) = 1, где тип — целые положительные числа.
183. 4tg-J + 2tg-f-f8ctgx=tg-?-tg-J.
184. sin5 X + sec X = cos5 x + cosec X.
185. (cos X — sin x) (2 tg X + sec *) -(- 2 = 0.
186. 2 cos2 4л: + sin2 3* = 1.
187. sec2 л:+sec2 12*= 12.
188. 3 sin (X — 60°) + 4 sin (* + 30°) + 5 sin (5* + 30°) = 0.
Ys і
189. 8со5л: = -^- + ——.
sin* 1 COS X
190. 2cos4 2л + cos2 2x cos Ax + cos 6* cos 2л + cos 8л = 2sinx
191. sin(* + 3a) = 3sin(a — x).
192. 1? sin6 л: + 6 cos 2x — 3 cos 4л: = 4,75.
193. (я— l)cos л:+ (a + 1) sin * = 2a. Q sin mx _ cos mx
sin X cos * '
195. ci (sin X + cos xf = b cos 2x.
196. sin (* — a) = sin X — sin a.
197. 8cos*— 14 cos2* + 8 cos3* — 2 cos4*+ cos 2*— 1.
198. 5sin 2*+sin*+cos* = 1.
199. sin 3* sin3 *+cos 3* cos3 * = -~.
200. а*пх + Ь = а«хх + Ь Q
b cos * + л b sinx-\- a
201. 2sin3*=sin*.
202. sin * cos * = sin 40°.
203. sec2 * + sec2 2* = 12.
204. tg2* = ctg*.
205. cos-j+cos * = 1.
206. sin * = cos —.
*
207. 1 + cos * + cos 2* = 0.
208. 1 + sin * + cos * + tg * = 0.
209. ctg * + ctg 3* = cosec * • cosec 3*.
210. sec2 ~ + cosec2--== 16ctg*.
211. 3sin2* — 4 sin* cos*+ 5 cos2* = 2.
212. sin 3* =^.
4
§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 347
213. cos 5* =¦ J.
214. tgj = 8.
2х 7
216. сі?~з~==:~Тз'
3
216. cos2 X = у.
217. sin2* = J.
218. tg2* = 10.
219. ctg2 x = •J^9
220. sin (5* + 3) = cos (4* -|~ 2).
221. tg (тс* 4" J) = ctg (тс* + -J-).
222. 2sin2 * — 3 cos2 * + sin * cos * = 0.
Sin (тС* + j) Sin (it* — JL) :
236.
236.
2 •
223.
224. sin (тгх) sin (Зтг*) = J-.
226. cos (7тг*) sin (бтг*) = cos (5тг*) sin (8тг*).
226. tg(3Tr*) = tg(5Tr*).
Уз 1
227. sin 11 л:-f--1-^- sin 7X + ~2 cos7* ~ 0.
228. tg [тс (* — 1)] ctg [ти (* — 1)] = 1.
3
229. cos3 * sin 3* -f" sin3 x cos 3* = — .
230. (1 — tg *) (1 + sin 2*) = 1 + tg *.
231. sin4 (тс*) 4~ cos4 (тс*) = sin(2Tr*).
232. sin * sin 5* = sec 4*.
OQ
233. sin10 * + cos10 X = J^r cos4 2*.
234. cosec * -f - cosec 2* + cosec 4* -\- cosec Sx = 0.
2узЖ = —^--Уз.
2 /sin X — 1 sinio (J — x) 4- cos10 (J — x} = a.
237. Найти все значения *, для которых
3 . 4
cos X = -=-, sin * = —-г- .
5 5
238. sin * 4~ sin 3* 4~ sin 7* = 3.
239. Сколько корней на сегменте [0, тс] имеет уравнение
tg(10*) = sin *. Решить уравнения (240—241).
240. (а — 1) sin2 * 4- a sin * — 2 = 0.
241. sin (тс tg *) = cos (тг tg *).
348
Тригонометрия. Гл. XXIX. "УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
242. Подобрать в уравнении ctg (m cos 2телг) = "^3 коэффициент т так, что$ы уравнение имело корни х = ± -g-, и затем найти при найденном значении
т все остальные решения уравнения.
243. Решить уравнение
. те л sin — = 1.
Сколько корней имеет это уравнение на отрезке
0,001 < x < 0,002?
244. Решить уравнение
т (cos x — sin х) = У 1 + sin xcos х. „ . т* — 1
Положить sin а =-; выразить решение данного уравнения через а.
Изучить расположение на тригонометрическом круге точек, соответствующих решениям. Доказать, что если |m|>i, данное уравнение имеет два корня, заключенные между —те и те.
245. 1°. Решить уравнение
cos mx = cos (т — 1) х.
В каком случае оно обращается в тождество?
Дать геометрическую интерпретацию для т целого положительного, большего 1.
Рассмотреть случаи т=2 и т = 3. 2°. Найти значения cosx такие, что
cos mx = cos (т — 1) х,
при т = 2 и т = 3. 3°. Применить 2° для вычисления сторон правильного треугольника и правильного пятиугольника (выпуклого и звездчатого), вписанного в окружность.
