Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
B) +
bha , chb . ahc _ a« + +
с ' a ^ b 2R
{a2
a* cos (S — C) + ?3 cos (С — А)+- c3 cos (Л — S) = 12Rs. - c2) [ 1 + cos C cos (Л — S)] = (a2 + b2) [ 1 + cos S cos (Л — C)]. b cos S -f- с cos C = a cos (S — C). a cos Л + b cos S -f- с cos C = = - [a cos (S — C) + b cos (C — Л) + с cos (A — S)]. a2 cos2 A — b2 cos2 S — c2 cos2 C = 2?c cos S cos C cos 2Л.
-2ab cos (60°+ C) = c2-
a sin A-\- b sin Z? -J- с sin C
~~ Л 5 C 4 cos у cos у cos —
2?c cos (60°-
- fl2 + + c2 a + ^ + с
¦A).
cos 2Л
a2
cos 2S
1
•
368 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
94.
98. 97.
cos В с — b cos A
cos C 6 — с cos л *
95*. (b — a cos ?) tg Л -= a sin C.
tg A cpJL-c* — b*-
IgB V ?2_j_c2_„^? •
Л я (л — ft cos С)
B ^ TT(A —• a cos CjT *
98. 5 — -» (c2 sin 2B 4- ft2 sin 2C).
99. a2 — ft2 = 2s (ctg B — ctg Л).
Л ?
100. ?cos2 -7 4-° c°s2 -j = p*
4 ?
101. ^sin2 ~- -f-a sin2у =p — c.
102. (ft 4- Ocos2 ~- 4-(ci + c)cos2 JL+(a + b) cos2 у 3p.
103. (ft + с) sin2 4 + (a + c) sin2 A + (a + ft) sin2 4 =
ЛВС
104. be cos2 + ac cos2 •y 4~ cos2 y- — p2.
105. (p - ?) tg 4 o>—*) {Z 4т=г (/? ~ C) tg 4 •
106. (p — a) (ctg 4 + ctg 4) - a ctg Л .
, ~ -, ft — с 9 Л . с — a 9B.a — b9C A
107. — - cos« -2 + -Г" c°s2 Y + -Г" cos T = °-
103. (a-/>)ctg-|+(c — <i)ctg-|-+-(A — c)ctg 4 ^=0-
B-C , C-A . A-B
а ми —,г— о sin —г-- f sin —^—
109. ---/- +-^—+—^ = 0.
sin — sin —- sin -g-
* В задачах 95—99 предполагается, что все углы треугольника — острые.
84. be cos Л ¦—- ас cos В — Ь2 — а2.
85. be cos А + ас cos В + aft cos С = ~±J~ ±-с-* .
88. be (ft2 - - с2) cos А-{-ас (с2 — a2) cos B +ab (a2 ~ ft2) cosC = O.
87. (ft + c) cos /1 -f - (a +- c) cos B + (a 4- ft) cos C -= a + b + c.
Sg ___созл__j__cos B ,____cos C да -f ^ + с*
с cos # -(- coh C * с cos л 4- я cos a cos -j-- b cos л ~~ 2aftc *
89. (ft — c) (p — a) cos Л -4- (с — a) (/; — ft) cos JS— (/? — c) cos C =
90. 2flft6- (cos A + cos ?) ^ (я -f - ft) (с + ft — a) (c 4- a — ft).
91. 2abc (cos Л — cos ?) (ft — a) (a + ft 4- c) (a 4~ ft — ?).
92. aftc (cos Л -f - cos B + cos C) = a2 (/; — a) 4~ ft2 (p — ft) + c2 (p — c).
93 ___..... 4. _JLzAl- j____^:=11^ _ 0
yo* cos ? -f- cos C r cos C + cos л ^ cos A + cos ? " u*
§ 1/ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 369
-л^А + ^-А),
Sin 4f = |/^-(-^---— , ГДЄ A1 = АЛ» Й2=Ч»
_л
2 К а2а3
а3 = АЛ и 2Р = * А + *А + * А-
Л P(P-ч) , X
cos -о- = 1/ —--~ (см. предыдущую задачу).
4m; —
cos Л =
4>4
cigA= а
8s С_В
л д с
cos -7J- cos ~(у cos -9-111
._і__r_ _j___—і—і—і—L
la ^ h T ^ * /; С
Hn 2s 2s
В—С~~ В —С ~ , ч . А
cos —2— a cos —2— \Р + с) Sltl "2~
26с cos у 2р sin -у sin —
6 + с ~* Л ?— C *
' cos у cos —2 —
2s 2s
a~~ . с~в ~~ . c-B . ,. Л
sin —^— a sin -—у— (с — о) COS у
Л ВС
2bc sin -х- 2,о sin -7c- sin -^-
cos -y sin —2—
a cos2 у -f- b cos2 ~ ~\- с cos2 у = р + -^-.
?-С Л-~С , Л —В
a- cos —?— ^J cos —2~~~ 0 cos —§—
_--_---1------_--1-----= 2(ab-\~ac-\- bc).
sin у sin sinT
ABCC л ctg у + b ctg у — с ctg у = 2/7 tg у .
^ ctg—-f-ас ctg у +а/bctgy = 4/?p2 (¦^ + j-+ j-—-)'.
(b + c)tg~+(a + c)ig-f+(a + b)tg^ = — 4/? (cos Л --I- cos B -f - cos C). Afl cos — = 2p sin -y sin у,
hn \hh : = — : -J- - — = cosec Л : cosec ? : cosec С. a b с
asm A-\-bun В -\-с sin C = 2 (/га cos Л -f - cos Л -j- hc cos C).
1 (Jh
2 I
04 П, С. Моденов
370
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
л sin •^-sin 0 sin -о- sin -н- с sin -^- sin -н-
l*7* r~ A B C
COS у COS -g- COS -g-
128. r = (p — a) tg = (p-b) tg ^ = (/>- c) tg
129. r =
133.
ha sin -^-
2 cos у cos —
130. , /" = ptg4tg4 tgT"
131. ^^stg^tg-f tgT-
ЛВС
132. г = 4R sin у sin Y sin -j-.
B C , A C A B
a cos у cos у b sin -^- cos с sin -^- cos y
A ~~ . B — C
cos -g- sin у sin ~y
ACB
134. ra = /7 tg-j = (p — b) ctg у = (p — с) ctg у.
135. г
Ля sin Y ABC
136. ra=-g-?- = 4Asincos-g- cosy
2 sin -g- sin y
137. г ctg A ctg - j ctg = ra ctg у = rb ctg = ctg .
138.
139, Rr
. A . B , C
л B C'
4 cos -g- cos -^- cos -g-
140. rra= sig-? = (p-b) (p-c).
Q
141. r/^= 5 Ctg — = p{p — c).
142. ra_r==atg~ = 4/?sin2 A
2 '
143. (гя - r) : (r> — r): (г, - r) = sin2 4 : sin2 : sin2 -J.
с л — ? C
I44- гя — гь = (? — *) ctg -j = 4/? sin —— cos y
145. ra-\-rb = с ctg — = 4/?cos2-^
•a і '? - - -s 2 — -x.v wo 2
146. (r> + rc): (r, + O : (ra + r,) = cos2 ^: cos2