Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
282. ctg 4 = 3. ftc = 4?, re=l.
283. sin Л = 4, /\ = 6, ft — с= 1.
284. /?=2,г0 = /з"+-1, ft-f-
285. ra= 1, Я = |-, ftc= 1. 28S. га = 2, Я=|, Ae = |.
-с2= 15. Определить стороны.
Определить ft и с.
Определить 5. Определить стороны. Определить стороны. Определить стороны и угол Л. Определить стороны. Определить а.
Определить ft и с. Определить а и ft.
Определить стороны.
Определить стороны.
Определить а.
Определить стороны.
Определить стороны и угол Л.
Определить ft. Определить сторону с. Определить стороны. Определить стороны. Определить а.
Определить стороны. Определить ft, с и угол В. Определить углы и стороны. Определить периметр. Определить стороны. Определить стороны.
Определить а. ¦аУ'д. Определить углы и стороны.
Определить угол Л и стороны.
Определить а и Л.
V 5 + /5
§ 2. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
377
287.
A42 = 3, P= 4, г» = 2.
Определить стороны.
288.
P= 5, s — 4, га — 2.
Определить стороны.
289.
s—6, р — а —¦ 1, /•? = 3.
Определить стороны.
290.
/)=16,5; а = 9, rb ——5—.
Определить b и с.
291.
P = 5, а = 4, /¦„==-5-.
Определить Ь.
292.
Определить стороны.
293.
ra = 4y1F. /?= 12, 6с = 56.
Определить стороны.
294.
13 2 cosec A — J2' ra — r=J-
Определить а.
295.
5
Ve =15, sin С ¦— -j,}, cos В =
4
"5 *
Определить а.
296.
а = 6, b=7, rbrc—\u.
Определить с.
297.
а = 15, rb-\-rc=--o.
Определить cos А.
298.
o = 2, »„=-5-, г„ — гс ¦= .
Определить b и с.
299.
Л = 60'. мв=-J^, /¦, + ^ =
Определить стороны
300.
tg^4 =|-, /•„ = 6, /у, = /-/-„.
Определить стороны.
301.
r=l, Я = 3. /•, + /-, = 6.
Определить стороны и угол А.
В задачах 302—325 требуется определить стороны треугольника
302.
P¦=6, га=^2, г = 1.
303.
•"=-4, ra = 9, Ь- с =-5-.
304.
г = 3, га = 4, If- + с2 = 1201.
305.
г — I, ra = 2, /7 — с = 1.
306.
га = 3, /•„= 10, a-f-c= 18.
307.
/¦„=114. /•? = 57, f =|-.
308.
ra — 8, r6 = 3, й + * = 5с.
309.
гв = 6. гй = 3, а3 -4-6- = 41.
310.
'•a=-54, /-„ = 24, /•,. = 4/-.
311.
312.
/? = -| ]/3 . //=3, /- = 3-V
313.
р — а—1, Zz0 = 2,4; ^ + г,=
314.
/, — а = 5. A0= 12. T6-T1
315.
р — а = 2, 13A0 = 60. v? =
316.
гв—г = 8. /; — а = 8. A41 = •J
317.
з
378
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
318. р-с= 12. Ав=3^зГ. гь=Ъге.
319. ha= 12, р — с = 8, /тв= 256.
320. р=о, s =~Y5, rar„=5.
321. s = 6, a ^b = 8, rarb= 12. w
322. ra — /-?= — -^x-, a —й = —1. « = -^-1/15.
. 's
323. 5=6/6", a —*=1, гЛ=36. {.
324. 5=12, a — b= 3, re=4/> .
325. Л = 2 arctg у , р = 5, /ус = 10.
2 З
326. "~ T' ra = Y» Vc==3- Определить а и Л.
18
327. A0= 1, р=Ъ, rb-f-rc = -y-. Определить стороны и Л.
328. а= 15, р =20, rb — rc=\5. Определить b и с.
329. /?=6, а =4, г„=3гс. Определить йс.
330. а — ?=1, Ас = 1, гд + гс = 3. Определить стороны и углы.
§ 3. Задачи по планиметрии с применением тригонометрии
Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках пересечения биссектрис внутренних углов данного треугольника (со сторонами а, Ь, с) с противоположными сторонами.
Найти произведение отрезков гипотенузы прямоугольного треугольника, на которые ее делит биссектриса прямого угла. Даны катеты а и Ь. Биссектриса угла Л треугольника ЛВС пересекает сторону ВС в точке Д а описанную окружность — в точке L. Доказать, что
DL = -_*
J1
2 (Ь + с) cos -у
4. Биссектрисы внутренних углов треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках L, М, N. Доказать, что
пл. &LMN =
5. Доказать, что если E19 E2, E3 — точки, в которых вписанная в треугольник ЛВС окружность касается его сторон ВС, CA и AB, то
AE2 = AE3 = р — а = R (sin В + sin С — sin Л), BE1 = BE3 = p — b = R (sin Л — sin В + sin С), CE1 = CE2 = р — c = R (sin Л -f- sin В — sin С).
6. Доказать, что если F'a, F'b, F'c—точки, в которых вневписанная окружность касается стороны ВС и продолжения сторон AB и АС, то AF^ = AF'b=p, BF' = BF'a=p-c, CF'b = CF'a=p-b.
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
379
Аналогично, если F"a, F"b, F"c и F"a\ F"b, F'" — точки касания соответствующих вневписанных окружностей к сторонам AC и AB и продолжениям других сторон, то
BF"a = BF"c = CF™ = CF'Z = p, CF"a = BF"a' — CF"b = BF™ = p — a, AF™ = = AF"c' = p-b, AF"c = AFl = p-c.
7. nF"c'=F'aF":=b- пп=пп='- пп=пп'=а-
8. F"?x = F"cE% = b, F"b% = F^E1 = с, F'bE2 = F'EZ = a.
9. Ef'a = b—c, E2Fl = c—a, Е.Г" = b — a (b>c>a).
Ю- F'A = ПЕі = FlEs = F"aE, = b. П'Еі = П% = c-
11. Доказать, что радиусы вневписанных окружностей суть корни каждого из следующих уравнений:
SX3 + р ^ + + _ p2>J Х2 _Ц p2SX — S2P = 0,
(x2 + p2)(x — r) = ARx2.
12. Доказать, что стороны треугольника суть корни уравнения
*3 — 2рх2 + (г2 +/?2 + ARr) x — ARrp = 0.
13. Доказать, что если О— центр вписанной окружности, то
