Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
а) OA-OB-OC = ARr*;
б) а - OA2 + b - OB2 + с - ОС2 = abc.
14. Доказать, что если O1— центр вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, то
O1A-OxB-O1C=ARrI.
15. Доказать, что если O1, O2, O3 — центры вневписанных окружностей, а О — центр вписанной окружности, то
aj ОИ "+" O1B "+" O1C ~ 1;
б) 0O1-OO2-OO3=Ie/?2/-;
в) 0O1IOO2IOO3 = Sm — : sin : sin-~;
г) O1O2 = AR cos 4»
д) O1O2: O1O3: O2O3 = cos ~ : cos ~ : cos 4;
е) 0O1-O2O3 = AaR;
ж) 0O1IO2O3 =
/7-а р
з) оо2+o2o2 = 0Oi+°io3—00I + °i°2 =16#2;
и) O1O2- O1O3. O2O3= l6R2p;
к) O1O2+ O2OJ+ O1OJ = S/?^+ г,+ г,).
16. Доказать, что если 0O1 = OO2, то треугольник равнобедренный.
17. Доказать, что расстояние от центра описанного круга до центра O1 вне-вписанного равно 1^/?2 + 2/?га.
380
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
18. Доказать, что сумма квадратов расстояний от центра описанной окружности до четырех центров О, O1, O2, O3 вписанной и вневписанных окружностей равна 12R2.
19. Доказать, что расстояния от центра описанной окружности до сторон равны R cos Л, R cos В и R cos С.
20. Доказать, что
где О — центр вписанной окружности, О' — центр описанной, a O1 — центр вневписанной окружности.
21. Доказать следующие соотношения:
а) О'Я2 = 9R2 — а2 — Ь2 — с2 = R2 (1 — 8 cos Л cos В cos С);
б) О'Я2 = НА2 Я?2 -f- ЯС2 — З/?2,
где Я—ортоцентр, a О'— центр описанной окружности. Доказать теоремы (22—28), относящиеся к центрам О, O1, O2, O3 вписанной и вневписанных окружностей:
22. Углы [XO1O2O3 равны —~—, -^—, —^—.
23. Радиус R1 окружности, описанной вокруг треугольника O1O2O3, равен 2R.
24. П^одадь S1 треугольника O1O2O3 равна
8/?2 cos -у cos cos -у = 2/?/; = -^-.
ОС $1 _ 1 I Д I & ( ^
26. пл. Д 0O1O2 = 8/?2 sin 4 sin cos -^- == 2/? (р — с) —в
27. пл. AOO1O2: пл. AOO1O3: пл. Д 0O2O3: пл. AO1O2O3 =
= (p — c):(p — b):(p — a):p=-rc: rb :га:г.
28. Площадь четырехугольника OBCO1 равна
Д -т- /у,) 2
Вершины треугольника E1E2E3 (задачи 29—36) находятся в точках касания окружности, вписанной в треугольник ЛВС к его сторонам. Обозначим через E1J E2, E3 углы треугольника E1E2E3, через alt аъ а3 — его стороны, через R' и г' — радиусы описанной и вписанной окружностей, через F — площадь.
Доказать следующие соотношения (задачи 29—36):
oq F Л р т. — В т. —С
м——2—' L2 — —2—' 3 ~—2—' 30. /?' = г.
31.
O1 = 2г cos ~т|- = 2 (/? — сі) sin -^-.
32. /=- = 2s sin an sin - J-.
ft . Л .B C
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
381
2 г* р
34. U1Q2U3 = --^f.
6Ь- 'abc" 2/^ '
36. 4^4-
37. Доказать, что если S1, S2,, S3— площади, отсекаемые от треугольника ЛВС касательными к вписанной окружности и соответственно параллельные сторонам треугольника, то
S1 : : S3: s = (/>- я)2 : (р — bf : (p — cfijfi.
38. Доказать, что если pt, /л>, ръ — отрезки этих касательных (см. № 37), заключенные между сторонами треугольника, то
а 1 b 1 с
Обозначим (задачи 39—57) через Л1} B1, C1 — основания высот остроугольного треугольника ЛВС; через ^1, k2, кл — стороны треугольника A1B1C1; через Rn — радиус окружности, описанной вокруг треугольника A1B1C1; через р, Pi» р2> Рз— радиусы вписанной и вневписанных окружностей для треугольника A1B1C1. Через H обозначим ортоцентр треугольника ABC; отрезки НА, HB и HC обозначим через hf , h'b, hr и, наконец, периметр треугольника A1B1C1 обозначим через 2pv
Доказать, что:
39. Треугольники AB1C1, BA1C1, CA1B1 подобны треугольнику ABC, причем
в& AC1 AB1 л ~ ti
——- = -7-~ =---~ г=гг cos А; следовательно, всякий линейный элемент
abc
треугольника AB1C1 равен соответственному элементу треугольника ABC, умноженному на cos Л.
(0. kl = Rsin2A, sin 2?, k3= R sin 2C.
41. ^1= 180=— 2-4, B1=ISO0 — 2B1 C1=ISO0 — 2C.
42. ' Ri1 = i2R.
43. p— 2R cos Л cos B cos C, P1 = 2/? cos Л sin B sin C
44. P1 -f- p = 2/? cos Л cos (?— C), px — p = 2/?cosM.
45. Pi + P2 = 2# sin'2 c. Pi — P2 = 2/? sin C sin (? — A).
46. 2pt = AR sin Л sin ? sin C
47. P — Pi ctg Л ctg ? ctg C, Pi=Pi ctg Л.
^./il hji' '-
48. -^- = = = 2/?.
Pi P2 Pa
49. пл. Д ЛС^ = scos2 Л.
50. пл. Д H1B1C1 = s(l —cos2 Л — cos2? — cos2С) =
= 2s cos Л cos ? cos C = ~ R2 sin 2Л sin 2? sin 2C =
382 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
61. Высоты треугольника ABC суть биссектрисы углов треугольника A1B1C1 1 и, следовательно, ортоцентр H треугольника ABC совпадает с центром : окружности, вписанной в треугольник A1B1C1. !
кл . /?о . к ^ а? + № -f с1* го ^ — & ъ \ a* h __n
оо.--2fi 1 і p "І ~2 A3-U-
54. ? Aft3 = ACl " 5^4I " CB1 = ^S1 ' бс1 " CAl- )
55. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ABC, HAB, HBC
и HCA равны между собой. ^ fc |
56. Доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника A1B1C1, проходит через середины А', A"t A" сторон BCt CA и AB. Радиус этой окруж-