Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 160

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 381 >> Следующая


а) OA-OB-OC = ARr*;

б) а - OA2 + b - OB2 + с - ОС2 = abc.

14. Доказать, что если O1— центр вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, то

O1A-OxB-O1C=ARrI.

15. Доказать, что если O1, O2, O3 — центры вневписанных окружностей, а О — центр вписанной окружности, то

aj ОИ "+" O1B "+" O1C ~ 1;

б) 0O1-OO2-OO3=Ie/?2/-;

в) 0O1IOO2IOO3 = Sm — : sin : sin-~;

г) O1O2 = AR cos 4»

д) O1O2: O1O3: O2O3 = cos ~ : cos ~ : cos 4;

е) 0O1-O2O3 = AaR;

ж) 0O1IO2O3 =

/7-а р

з) оо2+o2o2 = 0Oi+°io3—00I + °i°2 =16#2;

и) O1O2- O1O3. O2O3= l6R2p;

к) O1O2+ O2OJ+ O1OJ = S/?^+ г,+ г,).

16. Доказать, что если 0O1 = OO2, то треугольник равнобедренный.

17. Доказать, что расстояние от центра описанного круга до центра O1 вне-вписанного равно 1^/?2 + 2/?га.

380

Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

18. Доказать, что сумма квадратов расстояний от центра описанной окружности до четырех центров О, O1, O2, O3 вписанной и вневписанных окружностей равна 12R2.

19. Доказать, что расстояния от центра описанной окружности до сторон равны R cos Л, R cos В и R cos С.

20. Доказать, что

где О — центр вписанной окружности, О' — центр описанной, a O1 — центр вневписанной окружности.

21. Доказать следующие соотношения:

а) О'Я2 = 9R2 — а2 — Ь2 — с2 = R2 (1 — 8 cos Л cos В cos С);

б) О'Я2 = НА2 Я?2 -f- ЯС2 — З/?2,

где Я—ортоцентр, a О'— центр описанной окружности. Доказать теоремы (22—28), относящиеся к центрам О, O1, O2, O3 вписанной и вневписанных окружностей:

22. Углы [XO1O2O3 равны —~—, -^—, —^—.

23. Радиус R1 окружности, описанной вокруг треугольника O1O2O3, равен 2R.

24. П^одадь S1 треугольника O1O2O3 равна

8/?2 cos -у cos cos -у = 2/?/; = -^-.

ОС $1 _ 1 I Д I & ( ^

26. пл. Д 0O1O2 = 8/?2 sin 4 sin cos -^- == 2/? (р — с) —в

27. пл. AOO1O2: пл. AOO1O3: пл. Д 0O2O3: пл. AO1O2O3 =

= (p — c):(p — b):(p — a):p=-rc: rb :га:г.

28. Площадь четырехугольника OBCO1 равна

Д -т- /у,) 2

Вершины треугольника E1E2E3 (задачи 29—36) находятся в точках касания окружности, вписанной в треугольник ЛВС к его сторонам. Обозначим через E1J E2, E3 углы треугольника E1E2E3, через alt аъ а3 — его стороны, через R' и г' — радиусы описанной и вписанной окружностей, через F — площадь.

Доказать следующие соотношения (задачи 29—36):

oq F Л р т. — В т. —С

м——2—' L2 — —2—' 3 ~—2—' 30. /?' = г.

31.

O1 = 2г cos ~т|- = 2 (/? — сі) sin -^-.

32. /=- = 2s sin an sin - J-.

ft . Л .B C

§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

381

2 г* р

34. U1Q2U3 = --^f.

6Ь- 'abc" 2/^ '

36. 4^4-

37. Доказать, что если S1, S2,, S3— площади, отсекаемые от треугольника ЛВС касательными к вписанной окружности и соответственно параллельные сторонам треугольника, то

S1 : : S3: s = (/>- я)2 : (р — bf : (p — cfijfi.

38. Доказать, что если pt, /л>, ръ — отрезки этих касательных (см. № 37), заключенные между сторонами треугольника, то

а 1 b 1 с

Обозначим (задачи 39—57) через Л1} B1, C1 — основания высот остроугольного треугольника ЛВС; через ^1, k2, кл — стороны треугольника A1B1C1; через Rn — радиус окружности, описанной вокруг треугольника A1B1C1; через р, Pi» р2> Рз— радиусы вписанной и вневписанных окружностей для треугольника A1B1C1. Через H обозначим ортоцентр треугольника ABC; отрезки НА, HB и HC обозначим через hf , h'b, hr и, наконец, периметр треугольника A1B1C1 обозначим через 2pv

Доказать, что:

39. Треугольники AB1C1, BA1C1, CA1B1 подобны треугольнику ABC, причем

в& AC1 AB1 л ~ ti

——- = -7-~ =---~ г=гг cos А; следовательно, всякий линейный элемент

abc

треугольника AB1C1 равен соответственному элементу треугольника ABC, умноженному на cos Л.

(0. kl = Rsin2A, sin 2?, k3= R sin 2C.

41. ^1= 180=— 2-4, B1=ISO0 — 2B1 C1=ISO0 — 2C.

42. ' Ri1 = i2R.

43. p— 2R cos Л cos B cos C, P1 = 2/? cos Л sin B sin C

44. P1 -f- p = 2/? cos Л cos (?— C), px — p = 2/?cosM.

45. Pi + P2 = 2# sin'2 c. Pi — P2 = 2/? sin C sin (? — A).

46. 2pt = AR sin Л sin ? sin C

47. P — Pi ctg Л ctg ? ctg C, Pi=Pi ctg Л.

^./il hji' '-

48. -^- = = = 2/?.

Pi P2 Pa

49. пл. Д ЛС^ = scos2 Л.

50. пл. Д H1B1C1 = s(l —cos2 Л — cos2? — cos2С) =

= 2s cos Л cos ? cos C = ~ R2 sin 2Л sin 2? sin 2C =

382 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

61. Высоты треугольника ABC суть биссектрисы углов треугольника A1B1C1 1 и, следовательно, ортоцентр H треугольника ABC совпадает с центром : окружности, вписанной в треугольник A1B1C1. !

кл . /?о . к ^ а? + № -f с1* го ^ — & ъ \ a* h __n

оо.--2fi 1 і p "І ~2 A3-U-

54. ? Aft3 = ACl " 5^4I " CB1 = ^S1 ' бс1 " CAl- )

55. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ABC, HAB, HBC

и HCA равны между собой. ^ fc |

56. Доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника A1B1C1, проходит через середины А', A"t A" сторон BCt CA и AB. Радиус этой окруж-
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed