Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
30. arc tg ¦i + 2 arc tg ~ + arc tg j = ¦J ,
31. sin (/г arc tg x) = 0 (n — целое положительное число).
32. arc sin (ax) = arc cos (bx).
33. arc sin 2x -f - arc sin x = ^ .
34. 2 arc sin x -f- arc cos(l — x) = 0.
35. arc tg X -j- arc tg ~ ~f- arc tg ™ 0.
1_X -
36. arc sin 2x -f- arc tg = у.
37. (arc tg x)2 -f (arc ctg x)2 = ти2.
38. (arc sin x)3 + (arc cos x)3 = -3.
• Зл* , . Ax
39. arc sin -g- -j- arc sin -g- = arc sin x.
40. x arc cos = 2 arc ig(x—1).
41. arc tg 2x -j- arc tg 3x = .
42. arc sin X = arc ctg x.
43. arc tg -^----1~ arc tg (l — x j/"2) = arc tg x2.
у 2 —X
44. arc cos | x | = arc sin 2x.
45. arc tg (X + 1) — arc tg (x — 1) = .
46. arc cos -f arc sin + arc tg yf--^- = .
47. 2 arc tg (cos x) arc tg . Решить следующие системы уравнений:
ті —2
48. arc sin X • arc sin у = , arc cos x • arc cos у — -^-.
49. arc sin X +- arc cos у — 0, arc sin у 4~ arc cos x = т;.
50. X2 4-у2— U 2 arc cos (x-4-v) 4--5-~i—і—г —Зтг.
8 arc cos (x + у)
51. xy=:l, arc sin X + arc cosy = ~.
52. arc tg X + arc tg у — ~- , xy = —2.
358
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Решить следующие неравенства:
53. arc sin X > arc cos x,
54. arc tg X > arc ctg x.
55. 2 arc sin x > arc tg x.
56. arc sin X < arc cos (1 — x).
57. arc sin * — 2 arc cos x > ~ .
§ 6. Трансцендентные уравнения
Решить следующие уравнения:
1. Jg^ (sin х + cos х) = 2,
где а — положительное число, не равное 1, причем a2 ^ \/~2.
2. arc sin (Ig10 х) = 0.
3. Ig10 (arc sin*) = 0.
4. arc cos (тс Ig3 tg *) = 0.
7. tesin,2 "'ff .!„.,3=1.
8. sin (5 arc tg3*) = 1.
9. sin (t: Ig x) + cos (тс Ig x) = 1.
10. tg (3 arc tg *) = ctg (3 arc ctg *).
11. f l+lgtg* + f 1—lgtg* = 2.
12. Ig2-K-HgS*+1^*=
13. arc sin ^*2 + * + -) = arc cos ^*2 + * +-^—-j.
14. Ig10 (arc tg *) + Ig10 (arc ctg *) = a. Исследовать решения в зависимости от значений а.
15. 3* — ctg (arc tg ~ — arc tg ^qry) = 0.
16. 4 arc tg (*2 — 3*+ 3) = тс.
17. arc sin [lg (*2)] + arc sin lg * = у.
18.
arc tg (2 + cos *) — arc tg ^2 cos2 ~) = ~
19. (cos*r*-^inJ^ = l.
20. arc tg (2 + sin x)— arctg(l -(-sin*) = .
21. arc sin г*+3+ arc sin (4/3. 2*) = •J.
§ 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
22. arc tg 3* — arc tg 3~т = ~ .
23. sin (тс arc tg х) = cos (т: arc tg х).
24. sin [~ (arc tgx2)] = -i .
§ 7. Исследование элементарных функций
Найти области определения следующих элементарных функций:
3
1. у== arc cos ~.
2х
2. У — arc sin • { _^ .
3. У = tg х + [g 2х + ig 3х-
4
sin X
У 1 — COS X
5. у = Ig і arc sin (Зх2 + 4х).
6. у = arc sin (tgx). 7- У=]/~ sin~.
8. у = j/"sin (cos х).
9. У = to Igto ч?н> lg ~~r •
10. у -= Ig (sin X — cos х).
И. У=1ёС(ЛХ***-
12. у У Ig10 (cos 2тсх).
4 0 .if- sin X — cos X \
13. У — arc tg arc sin —---.
/ fe V sin X -f- cos X /
Исследовать на возрастание и убывание следующие функции:
14. у—x + sinx.
15. у = sin X + cos2 х.
16. у = sin X + і sin Зх.
17. у= arc sin
3 2x 1+x2 '
1-х2
18. у = arc cos л . ,, .
^ 1 + Xі
19. , у = (7+ 2 cosx) sin x.
nn sin X
20. у = -4-1-.
* sin X + COS X
21. Доказать, что функция у=ъ\п х на сегменте [0, -J выпукла вверх.
22. Доказать, что функция у = tgx на полуинтервале ?о, выпукла вниз.
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Построить графики следующих фуикциЯ:
У-
~— sin 2л*.
у-
— COS оХ.
. X
у
= sin -j .
У -
о *
=¦ 2 cos ~~.
У
= tg ох.
У =
= г uj ——
у = sin (2X 4-3). V — 3 cos ^7~х — у j .
у[т:(*-1)]. у — 3 cto- [ (2 — х)тг]. у — sin X -4- COS X. у — sin * -f - sin З*.
у — sec л*.
у = cosec *. у — 2 sin * -|~ 3 cos *.
. 1
V ™ SlIl - - .
*
, . 1
у — *- Sin - .
л
у = COS —• . J X
1 . 1
V ^ — sm —.
X X
у = Ig10 sin*. у — sin (*2).
у arc Jin (sin *). у arc cos (cos *). у--- arc ig (ig X). у--= arc ctg (ctg *). V--* — arc tg (tg*). у — X — arc sin (iin *). у = X arc sin (sin *). у =z arc tg (tg *) — arc sin (sin *).
у = arc cos (cos *) — arc sin (sin *).
, 1 у = arc tg - .
у = arc ctg (Ig10*).
§ 8. PYlHbIR ЗАДАЧИ
55.
V ~ arc sin -—,
X-
53.
V --1^10(arc sin x).
57.
у -=• arc ^iIi(Ig10X).
53.
у — sin (arc tg x).
§ 8. Разные задачи
Вычислить (бгз ломоті таблиц):
1. tg20°tg40°ig60otg80o.
°r 4- бг. тс At 5тс
2. 1) cos —j— cos ~j—)—cos -y-; 2) cos у cos-y cos •y-
3. tg 10- tg 50° tg 70°.
4. tg9' —tg27°—tg63° 4~tg81°.
5. tg236°tg2 72°.
( 2- , 10-V / 4rc 6* W 8- , 12тс
6. (cos -- ¦r cos ~lTj (cos 17 + cos-lTj (cos yy + cosж
7. cos 20° cos 40° cos 80°.
8. sin — sm тг- ... sin
2/i ' 2/2 2/2
2- . /7Z
sin ~-ч—-—r sin -:—— ... Sln ъ--- j-
