Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
j;<0h x2 + .y2> 1.
arc sin (x Vl—Уг — .У Vl—-*2)» если ху >. О
или х2-+ у2^. 1;
тс — arc sin (х V1 — У2 — .У V1 — x2)t если х > О,
у<0 н х2 + /> 1;
—тс—arcsin(xVl—.У2 — .У Vl—x2)t если X < О,
у>0 и X2+-у2 > L
arc tg і ^у . если х.у> —1;
тс + arc tg 2^7^ . если х > 0, Xj/< — 1;
— тс +arctg і ^у > если х<0, ху< — 1.
1
75.
76.
77.
arc cos
X + /і — JE* /2
— arc cos X H—, если х2> —
4 ^ У2
тс / 1
arc cos X--, если x •<-=-.
4 ^ V2
arc tg X + arctg yqr?==
4
Зтс
, если X > — 1; , если X < — 1.
2x
— тс — 2 arc tgx, если x< — 1; arc sin ^ = j 2 arc tg x, если — 1 <; x < 1;
тс — 2 arc tgx, если x > 1.
'334 Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
78,
79.
arc sin (sin *) =
тс ^ ^ тс
X9 если — 2~<*< у;
тс . . Зк тс — xt если -тг 0<-2~;
г> Зтс ^ ^ 5тс
X-2тс, если -у * ^ •
1
где
8 arc tg^+arc tgx = ^t l-tg(8arc tg^)
X =
80.
81.
82.
l + tg^Sarc tgl) arc cos * + arc cos + ~ Y% — 3*2 j = ~,
где
arc sin
y<*<i.
sin X -f- cos X
если
V2
тс . 5tc
Зтс
2 arc tg * + arc sin
2*
l + *2
= тс,
где
83. arc sin л: + arc sin у =
*> 1.
arc tg
*l/"l — У2 + у Vi — *2
]Л — *2 yT — у2 — xy ' если *2 + у2<1 или *у<0;
~ S уТ — *2|Л--у2 — xy '
если *2-г-у2>1, *>0, у>0;
- тс -f- arc tg
84.
85.
86.
2 arc sin X :
YlZTxIYT^Ji--xy ' если *2 + у2>1, *<0, y<0.
1
arc sin (2x YI — *2). если | x | -<
Y29
тс — arc sin (2x Yl — x2)t если ^L- < x ^ 1; — тс — arc sin(2л: V^l — *2), если — 1 <*< —
V2
2 arc cos X ¦
2tc-
2 arc tg X =
arc cos (2*2—1), если 0<*<1; arc cos (2*2—1), если —1<!*<;0. 2*
arc tg
I—*2 2*
, если I * I < 1;
TC-f-arctg l__Jp > если *>1;
2*
тс + arctg JZTxI* если x< — l-
Тригонометрия. Гл, XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 335
87. 4 arc tg j/^y^-j — 2 arc sin x = тс
при любом X9 по абсолютной величине меньшем 1.
3 8
88. arc sin -g- -f - arc sin ^ = arc sin x, где
32 + 3/*6§5
135
X + у У" і_
89. arc sin X •+- arc tg у = arc sin —1 і —, где 0< jc< 1, y>0.
90. 3 arc tg X = arc tg 3^"""-*3 rде о < x < —^L-.
91. arc sin л; — arc sin--= —, где 0 <; x <; 1.
У 2 4
92. arccos^-arctgj/^-^arctg-^ = ^ если - 1< * <0.
1 TC
93. arc sin —--1- arc sin —~-— —, x > 0.
/l + * /l +jc 2
• V2x + l , . ,/" 1+2*
94. arc sin _,J--(-arc ctg |/ —+
если
У"2 & ' "1— 2л:
1 ^ .1 - 2"<х< 2"'
95. tg (2 arc tg +f—-) = cos (2 arc cos j/~i±u) = == sin 12 arc cos--1-~-J = x.
96.
arc tg-=— arc tg — = arc tg -z-r-r,
ь Jt — 1 & л: ьлг2 — jc + 1
97. Доказать, что если х — не целое число, то 2х — 1 1
• arc tg (tg ^2"-1- = [X],
2 тс
где [jc] есть наибольшее целое число, меньшее, чем X. 98. Доказать, что если
arc sin X -+ arc sin у + arc sin z = тс, :
TO _ _ _
xY\— jc2+ y V\— f + z Vl — z* = 2xyz. 99*. Доказать следующую формулу:
arc sin (sin x) = (-1)[^(tc{|+}}-J), где — наибольшее целое число, меньшее или равное ~ + ^>
a j ~ + 1=г j — дробная часть этого числа, т. е.
336 Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
100**. Доказать следующую формулу:
arc cos (cos х) = тс | 1,
если J^J — число четное и
arc cos (cos л:) = тс — ^{^г}'
если J^-J — число нечетное. 1O1**. Доказать, что если | ~ -f--і | Ф 0, то
arctg(tg*) = *{? + ±}-.?,
102**. Доказать, что если J^j =?0 (т. е. ~ не есть целое число), то
arc ctg (ctg л;) = тс j ^ j.
Глава XXIX
Вид уравнения
Значение параметра а
\а\>1
я = —1
а = 1
-1<а<1
sin x = а
нет корней
x = 2 & ти — —
JC = &те
X = 2kTZ + ~
jc = 2Ajtc + -f- arc sin а, jc = (2Aj+1) те— — arc sin л
cos x = а
нет корней
x = (2k + 1) те
* = Ьп + Y
x = 2kn
jc = 2?те ± ± arc cos а
Все корни уравнения tg х = а (а — любое число) даются формулой
X = krz-\- arc tg а. Все корни уравнения ctg х = а (а — любое число) даются формулой
X = Air -(— arc ctg а. Отметим еще формулы, дающие все корни следующих уравнений:
Уравнение
Корни
sin2 jc = а% где 0 ^ а 1
jc = &те ± arc sin У"а
cos2 X = а, где 0 < а < 1
x = kn± arc cos У а
tg2 X = а, где 0 < а
jc = &те ± arc tg Уя
где k — любое целое число.
22 П, С. Моденов
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Решение тригонометрического уравнения обычно сводят к решению одного из следующих простейших уравнений:
а) sin X = а;
б) cos X = а;
в) ig X = а;
г) ctg X = а.
Итог исследования уравнений smx = a и cos Jc = а дан в следующей таблице:
338
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
При решении тригонометрического неравенства с одним неизвестным
/(*)>о
следует сначала найти область определения функции f(x), затем решить уравнение
а затем воспользоваться, например, тем свойством элементарной функции, что если она определена на некотором сегменте (или интервале) и не имеет на этом сегменте (или интервале) корней, то она сохраняет знак на этом сегменте (или интервале).
