Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
\шіоскость
is (X
X
y(Y - у) + z(Z-
0.
(II)
Рис. 34
Уравнения бинормали и главной нормали получим, заменив в уравнениях (I) х, у, z соответственно на Bx, By, Bz или на Nx, Ny, Nz. Уравнение соприкасающейся плоскости получим, заменив в уравнении (II) х, у, z на Bx, Ву, Bz.
1812. Радиус-вектор движущейся точки в момент t задан уравнением г = 4ii — 3tj. Определить траекторию, скорость и ускорение движения.
1813. Уравнение движения г = 3ti + (4t — t2)j. Определить траекторию и скорость движения. Построить траекторию и векторы скорости в моменты t = 0, 1, 2 и Зс.
1814. В задаче 1813 определить ускорение w движения и его
dv
dt
тангенциальную wT = — и нормальную Wn = у/w2 — w2 составляющие в любой момент t и при t = 0.
1815. Уравнение движения г = a cost ¦ і + b sin t ¦ j. Определить траекторию, скорость и ускорение движения и построить векторы скорости и ускорения в точках t = 0, 7г/4, тг/2.
В задачах 1816-1818 написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости кривой:
1816.
t, у = t2
t в любой точке и при t = 1.
182
Гл. 10. Кривизна плоской и пространственной кривой
1817. у = ж2, z2 = ж в любой точке (ж ^ 0) и при ж = 4.
1818. ж2 + у2 = 10, у2 + z2 = 25 в точке (1; 3; 4).
Указание. Взяв дифференциал от левой и правой частей каждого уравнения, найти затем отношения dx : dy : dz.
1819. Найти тангенциальный г, бинормальный В и главный нормальный N векторы кривой ж = 1 — sin/, у = cos/, z = t в точке / = 0. Найти также т, ? и и в той же точке.
1820. Написать уравнения главной нормали, бинормали и соприкасающейся плоскости к кривой ж = /, у = /2, z = /3 в точке / = 1.
1821. Написать уравнения главной нормали и бинормали кривой ж = ef, у = e-i, z = / в точке / = 0.
1822. Показать, что уравнения ж = і cos і, у = /sin/, z = t определяют коническую винтовую линию, и написать уравнения главной нормали, бинормали и касательной к ней в начале координат.
1823. Написать уравнения касательной к винтовой линии ж = = a cos/, у = a sin /, z = Ыв любой точке и при / = тг/2. Показать, что винтовая линия пересекает образующие цилиндра ж2+ у2 = а2
Ь
под одинаковым углом у = arccos
V а2 + Ь2
1824. Найти углы с осями координат тангенциального вектора кривой ж2 = 2az ну2 = 2bz в точке z = y/ab.
1825. Плоскость у = 0, на которой дана кривая 2z = ж2, у = 0, накручивается на цилиндр ж2 + у2 = 2у. Написать параметрические уравнения образованного кривой винта и определить бинормальный вектор кривой в любой точке и в точке / = тг/2, где / — угол поворота плоскости.
1826. Радиус-вектор движущейся точки в момент / задан уравнением г = a(t — sin і)і + а(1 — cos/)j. Определить и построить векторы скорости и ускорения при / = тг/2 и / = тт.
В задачах 1827-1829 написать уравнения касательной к кривой:
1827. у = ж, Z = 2х2 в точке ж = 2.
1828. ж2 + у2 + z2 = 14, ж + 2у - z = 2 в точке (1; 2; 3) (см. задачу 1818).
1829. ж = 2/, у = In /, z = /2 в точке / = 1.
4. Кривизна и кручение пространственной кривой
183
1830. г = efi + e_fj + i-\/2k. Найти углы с осями координат бинормального вектора b в точке t = 0.
1831. Написать уравнения главной нормали и бинормали кривой у = X2, z = у2 в точке X = I.
1832. Написать уравнения главной нормали и бинормали кри-
. t
вой ж = t — sm ?, w=I- cos t, z = 4 sm - в точке t = тг. ,у , 2
§ 4. Кривизна и кручение пространственной кривой
Кривизна 1/R есть предел отношения угла р> поворота касательной к длине дуги As, когда As —)> 0. Кручение 1/р есть предел отношения угла в поворота бинормали к As, когда As —)> 0. Так как р> Pd |Ат| и 0 Pd ±|Д/?|, то 1/R и 1/р численно оказываются модулями векторов:
dr 1 d? 1
— = — г/, —— =--v. (Y)
ds R ds р
Если кривая задана уравнением г = r(t), то
1 Ir X г| 1 г г г'
. -19 • (2)
Д |г|3 /9 |r x г|2
1833. Продифференцировав равенство v = vr по і, с помощью первой формулы (1) получить разложение ускорения w на тангенциальное и нормальное:
V2
W = VT + ——f.
it
1834. Точка движется по параболе х = t, у = t — t2, где і — время движения. Определить кривизну 1/і? траектории и тангенциальное и нормальное ускорения в момент t и при t = 0.
1835. Точка движется по эллипсу ж = 4 cos і, у = 3sin?, где і — время движения. Определить кривизну 1/і? траектории и
TT
тангенциальное и нормальное ускорения при t = —.
2
1836. Для движения с уравнением г = ti + t2j 4—?3k опре-
З
делить кривизну 1/і? траектории и тангенциальное и нормальное ускорения в любой момент t и при і = 1.
Определить кривизну 1/і? и кручение 1/р кривой:
1837. ж = t, у = t2, z = t3 в любой точке и при t = 0.
1838. ж = ef, у = e-i, z = ty/2 в любой точке и при і = 0.
1839. у = —, Z= — в любой точке и при ж = 1.
184 Гл. 10. Кривизна плоской и пространственной кривой
1840. Показать, что на правом винте (ж = a cost, у = a sin t, z = bt) кручение положительно, а на левом (ж = a cost, у = = —asmt, z = bt) — отрицательно.
Определить кривизну 1/R и кручение 1/р кривой:
1841. ж = It, у = In Ї, z = t2 в любой точке и при і = 1.
