Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
1771. Вывести формулы объема пирамиды и шара из формулы Симпсона (II).
2
/dx — по общей формуле Симпсона (III)
і
(при 2га = 10) и оценить погрешность по формуле (2).
1773. Найти длину дуги эллипса х = 5 cos t, у = 3sin?, применив к интегралу, определяющему первую четверть всей дуги, формулу Симпсона (II).
і
/dx :, применив к л/4 - X2
о
интегралу формулу Симпсона (II).
тт [ dx
1775. Вычислить — =-- по общей формуле Симпсона
4 J 1 + хг о
(III) (при 2га = 10) и оценить погрешность, полагая в формуле (2)
Приближенно /i4|yIV|maX ~ |А4у|тах-
1776. Рассматривая площадь части круга, ограниченного кри-
4
ВОЙ X2
О
вычисляя интеграл по формуле Симпсона (при 2га = 4).
1777. Вычислить по формуле Симпсона (III) длину дуги полуволны синусоиды у = sin х, разбив отрезок [0, тг] на шесть равных частей.
Глава 10
КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ И ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
§ 1. Кривизна плоской кривой. Центр и радиус кривизны. Эволюта
1°. Кривизна:
ds (і + у'2)3/2'
2°. Радиус кривизны:
R_ (1 + г/2)3/2 ^ (*2 + у2)3/2 (2)
\у"\ \ух-ху\
3°. Координаты центра кривизны:
1 + У12 і , і2 + У2 ¦
X = X---it—У = + —-^У,
у ху - ух
у 1 /Г , :Г: •'V,,
у ух-ху
(3)
Геометрическое место центров кривизны C(X; Y) называется эволютой. Уравнения (3) и будут параметрическими уравнениями эволюты.
4°. Радиус кривизны кривой г = f(<p), где г и ср — полярные координаты:
р_ (г2 + /2)3/2
|г2 _|_ 2г'2 — rr" I'
Определить радиус кривизны и построить кривую и круг кривизны кривой в ее вершине:
1778. у = Ax - ж2. 1779. у = е~х2. 1780. X2 +Ay2 = 4. 1781. х = a(t - sin і),
1782. у = же--. у = а(1 — cosi).
Определить координаты центра кривизны и построить кривую и круг кривизны кривой:
1783. ху = Ab точке ж = 2.
1. Кривизна плоской кривой
179
1784. у = In ж в точке пересечения с Ох.
X3 + 1 ^
1785. у =---— в точке пересечения с Ох.
Написать уравнение эволюты кривой и построить кривую и ее эволюту:
X ^
1786. у = 1 - —. 1787. X = 2cost, у = sin/.
1788. X2 — у2 = а2 (или ж = acht и у = ash/).
1789. ж = a(cos/ + / sin /), у = a(sin / — / cos /).
1790. Найти максимальную кривизну кривой у = ех.
X
1791. Доказать, что радиус кривизны цепной линии у = ach —
a
у2
в любой точке равен — и равен отрезку нормали между кривой и a
осью Ож.
1792. Определить радиус кривизны в произвольной точке кри-
о2
вой: 1) г = a(l — cos <р); 2) г2 = a2 cos 2ip; 3) г2 —
cos 2(р
Определить радиус кривизны и построить кривую и круг кривизны кривой в ее вершине:
1
1795. у = sin ж. 1796. 2у = ж2 + 4ж.
1793. у = 1 / 2. 1794. ж2 - у2 = 4.
Определить координаты центра кривизны и построить кривую и круг кривизны кривой:
1797. у = ех в точке пересечения ее с Oy.
1798. у = — в точке (-1; -1/3).
3
1799. у2 = ж3 в точке (1; 1).
7Г
1800. у = cos ж в точке ж = —. У 4
Написать уравнение эволюты кривой и построить кривую и ее эволюту:
/3
1801. у2 = 2(ж + 1). 1802. ж =/2, у = —.
3
1803. жу = 4. 1804. ж = a cos3/, у = a sin3/.
180
Гл. 10. Кривизна плоской и пространственной кривой
1805. Показать, что в любой точке астроиды ж
,2/3
= a
2/3
радиус кривизны равен 3{/а\ху
§ 2. Длина дуги кривой в пространстве
Дифференциал дуги: ds = \Jdx2 + dy2 + dz2, или
ds = у/1X2 + у2 + Z2 dt.
Длина дуги: s = J \Jх2 + у2 + z2 dt.
ti
Найти длину дуги кривой:
2t3
1806. X = t, у = t2, z= - от t = 0 до t = 3.
3
1807. X — 3 cos?, у — 3 sin ?, z — At от t = 0 до произвольного t.
X X
1808. у = —, z = — от X = 0 до X = 3.
Найти длину дуги кривой:
. t
1809. X = t — sm t, у = 1 — cos t, z = 4 sm -от? = 0до? = 7г.
1810. X = е\ у = е~\ z = t^2 от t = 0 до t = 1.
1 , ж2
1811. у = - In ж, Z= — от ж = 1 до ж = 2.
у 2 2
§ 3. Производная вектор-функции по скаляру и ее механическое и геометрическое значение. Естественный трехгранник кривой
Радиус-вектор г = х'\ + j/j + zk точки кривой ж = x(t), у = y(i), z = = z(t) есть вектор-функция скаляра t. Производная г = xi + yj + zk есть
тангенциальный вектор и имеет модуль |r| = \/х2 + у2 + i2 = s = —.
Поэтому, если t — время, а кривая — траектория движения, то г = v есть вектор скорости, Y = W — вектор ускорения.
Через точку М(х; у; z) кривой (рис. 34) проведем три плоскости:
1) перпендикулярную к г; она называется нормальной;
2) содержащую гиг; она называется соприкасающейся;
3) перпендикулярную к первым двум.
Они образуют естественный трехгранник (триэдр) кривой.
3. Производная вектор-функции по скаляру 181
В пересечении плоскостей имеем три прямые: касательную, бинормаль и главную нормаль, определяемые векторами:
1) г — тангенциальный,
2) В = г x г — бинормальный,
3) N = В x г — главный нормальный.
Единичные векторы этих направлений обозначим т, ?, v; они свя-
заны зависимостью
ClT
ds
ClT
ds
ь> и ?
Пусть Mi(X; Y; Z) — точка касательной (рис. 34). Тогда MMi ||г и из условия параллельности векторов получим уравнения касательной
X
Y
У
Z
У
Пусть M2(X; Y; Z) — точка на нормальной плоскости.
Тогда ММ2 J- г и из условия перпендикулярности векторов получим уравнение нормальной плоскости:
