Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
1842. ж = —, z = ж в любой точке и при у = 1.
1843. ж = е* sin і, у = ef cos і, z = ef в точке і = 0.
Глава 11
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, ПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Функции двух переменных и их геометрическое изображение
1°. Определение. Переменная z называется однозначной функцией переменных X ж у, если каждой паре значений х и у в некоторой области их изменения поставлено в соответствие одно значение z. Функциональную зависимость z от х и у записывают в виде
z = F(x, у). (1)
2°. Геометрическое изображение. Уравнение (1) геометрически определяет некоторую поверхность. Пара значений х и у определяет на плоскости хОу точку Р(х; у), a z = F(x, у) — аппликату соответствующей точки М(х; у; z) на поверхности. Поэтому говорят, что z есть функция точки Р(х; у), и пишут z = F(P).
3°. Предел функции Hm F(P) = А, если разность F(P) — А
P-YP0
есть бесконечно малая, когда р = PoP —> 0 при любом способе приближения P к Po (например, по любой линии).
4°. Непрерывность функции. Функция F(x, у) называется непрерывной в точке Po, если Hm F(P) = F(Po). Иначе говоря, функ-
P—yPo
ция F(x, у) непрерывна в некоторой точке (х; у), если Hm F(x + Аж, у + Ay) = F(x, у).
Ax^O Ay^O
1844. Указать области изменений жну, для которых следующие функции имеют вещественные значения:
1) z = ж2 + у2; 2) az = а2 - ж2 - у2; 3) z
4
+ У
4) z = \/а2 — X2 — у2; 5) z
6)z = /. =^; 7) z
J\-x2 - у2 У-х
и построить геометрические изображения функций по сечениям поверхностей плоскостями ж = 0, у = 0, г = О и z = і
186 Гл.11. Частные производные, полные дифференциалы
1845. Дан периметр 2р треугольника. Определить площадь S треугольника как функцию двух его сторон жну. Определить и построить область возможных значений жну.
ж — 2у
1846. Для функции F(x, у) =--вычислить F(3,1),F(1, 3),
F(I, 2), F(2, 1), F(a, a), F(a, -a).
1847. Доказать, что если F(x, у) = л/ж4 + у4 —2жу, то F(tx, ty) = = t2F(x, у).
1848. Для z = ж2 — жу = у2 определить Д^-г, A^z и Az. Вычислить Д^-г, AyZ, Az, если ж изменяется от 2 до 2,1, а у
изменяется от 2 до 1,9.
1849. Показать, что уравнение ж2 — у2 — z2 = 0 определяет z как бесчисленное множество однозначных функций ж и у, из которых две непрерывны. Указать область определения всех этих функций и построить геометрическое изображение положительной непрерывной функции. Привести пример однозначной, но разрывной функции z = F(x, у), определяемой тем же уравнением ж2 - у2 = Z2.
1850. Построить линии уровней (при г = 0, 1, 2 и т. д.) функций:
1) z = у 1 - — - у2; 2) z = x2 -у; 3) г = ж2 — у2; 4) z = ху.
У
1851. Показать, что при ж —> 0 и у —> 0 выражение и =
ж - у
может стремиться к любому пределу. Привести примеры такого приближения точки (ж; у) к точке (0; 0), при котором Hm u = 3, Hm и = 2, Hm и = 1, Hm и = 0, Hm и = —2.
Указание. Рассмотреть изменение х ж у вдоль прямых у = кх.
1852. Показать, что:
1) Hm W^H = _1. 2) lim ELM = 1;
х^о ху 4 жу
у—>0 2/-»¦O
. , sin (жу) 3) Hm -^ = 0
ж->0 ж
при любом способе приближения точки (ж; у) к точке (0; 0). Указание. Положить ху = а.
2. Частные производные первого порядка
187
1853. Изобразить геометрически функцию
{1 при жу > О, О при ху = О, — 1 при ху < О
и указать линии ее разрыва.
1854. Указать области определения функций:
l)z = x + у; 2) Z=^—; 3)- = Jl-^-fJ:
X + у СУ GT Ьа
4)- = 1-^-^; 5) z = X + л/ж2 - у2; с az bz
6) Jz = л/Ж + Jy
и построить геометрические изображения этих функций.
ж
1855. Доказать, что если F(x, у) =-, то F(a, b)+F(b, a) = 1.
ж — у
4
1856. Показать, что уравнение z2 =---- определяет z
4 — X2 — у2
как бесчисленное множество однозначных функций ж и у, из которых две непрерывны. Указать область определения всех этих функций и построить геометрическое изображение функции, положительной в области ж2 + у2 ^ 1 и отрицательной вне ее.
1857. Построить геометрическое изображение однозначной функции Z = F(x, у), определяемой уравнением ж2 +у2 + z2 = a2,
a2
положительной в области ж2 + у2 ^ — и отрицательной вне ее. Указать линию ее разрыва.
§ 2. Частные производные первого порядка
Производная функции z = F(x, у) по х, найденная в предположении, что у остается постоянным, называется частной производной z dz
по ж и обозначается — или F^.(x, у). Аналогично определяется и обо-
Oz
значается частная производная z по у: — = F'Sx, у).
Oy у
Найти частные производные функций:
1858. z = x3 + Зж2у - у3. 1859. Z = In (ж2 + у2).
1860. Z=-. 1861. z = arctg-.
188 Гл.11. Частные производные, полные дифференциалы
1864. с = л/а2 + Ь2 - 2a6cosa.
1865. u = - + - - -. 1866. и = же"^.
Ж у Z
2х — t
1867. u = -. 1868. a = arcsin (t
x + 2t v
1869. Доказать, что если z = In (-^/ж + д/у), то
1
х——h у— = -. ox Oy 2
тт г- ¦ У
1870. Доказать, что если z = Jxsm —, то
X
dz dz z х——h у— = —. Ox Oy 2
1871. Доказать, что если u = ех^2, то
9и du 2x— + t— = 0.
OX Ot
1872. Доказать, что если и = ху, то
