Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
2d2z ^ d2z J2z . X т-= + 2ху + у -—г = га(га - l)z,
ох1 ох Oy oyz
или символически
тг + Утг z = n\n - l)z-
ох оу J
ox o z
Указание. Равенство x—--h y—— = nz (см. задачу 1898) продиф-
Oz Oy
ференцировать: 1) по х; 2) по у, и результаты, умноженные соответственно на ж и на у, сложить почленно.
196 Гл.11. Частные производные, полные дифференциалы
д д 4 2
1937. Проверить равенство ( ж ——\- у--— ) z = n(n — l)z для
ох Oy;
однородных функций: 1) z = х2 + ху + у2; 2) z = 3) z
ж^
= -2^-2' 4) * = 1п(--1
9
1938. Найти rf2w, если: 1) и — —^-; 2) w = ж In —.
1939. Доказать, что если z = cos (тож + ray), то d2z = — z(mdx + ndy)2.
1940. Доказать, что если z = In (аж + 6у), то:
1) d3z = 2dz3; 2) rfnz = (-1)™"1^ - l)\dzn.
1941. Доказать, что если z = F (и, v), где и = mx + ray и и 92z / 9 9\2 92z ( д д
+ЧУ, то — = т—+р— Z, —— = т—+р
OX1 \ OU OV J OX Oy \ OU OV
д д\ d2z ( д д 4 2
2Z Й2.
гая~ + °я~ ) z, тг^ = [ n— + q
OU OV J Oy1 \ OU OV
d2z д
1942. Преобразовать выражение ——,- —4——-—ЬЗ^—к новым
9ж^ 9ж оу оу2
переменным и = Ъх + у ж v = х + у (см. задачу 1941).
d2z d2z Q2Z
1943. Преобразовать выражение ——,- —4——-—\-4—-^ к новым
9ж^ 9ж оу оу2
переменным и = 2ж + уии = у (см. задачу 1941).
1944. Доказать, что если z = F(и, v), где и и v — функции от ж и у, то
d2z ( . д . д \2 „dz „dz
-= 11--1- V — z + 11--1- V —
9ж2 V Хди xdv) ^ хх8и^ xxdv'
д2z д2z
Определить аналогично ——— и --—^-
Ox Oy оу2
(J2Z (J2Z
1945. Преобразовать выражение ж2—^- — у2тг^т к новым пере-
9ж^ оу2
менным и = ху и V = у/ж (см. задачу 1944).
„ d2z 1 d2z 1 dz
1946. Преобразовать выражение -—- H—H—--— к новым
or г dip г Or
переменным ж = г cos ср ну = г sin Lp (см. задачу 1944).
6. Частные производные высших порядков
197
1947. Найти частные производные второго порядка функции
1-2у
1948. Найти частные производные третьего порядка функции
X
" = W
тт ХУ
1949. Доказать, что если z = -, то
X - у
d2z d2z d2z 2
--Ь 2--1--=-.
дх2 дх ду ду2 х — у
1950. Доказать, что если s = In (ax — bt), то
д 9х 3
дх ^ dt)
9 ( Л
1951. Доказать, что если z = 2 cos I х — — J , то
2^ + ^ = 0.
dt2 дх dt
тт т/„ d2z oz °z
1952. Доказать, что если z = е /у, то у——— = —--——.
ox Oy Oy Ox
1953. Пусть u = In х. Найти d2u и d3u.
d2z d2z
1954. Преобразовать выражение ——;- — a2 -—^ к новым пере-
ох2 оу2
менным и = ах + у ж V = ах — у (см. задачу 1941).
d2z O2Z
1955. Преобразовать выражение х——,- + Ут\—тг~ к новым пере-
ох2 ох оу
у
менным u = у и V = — (см. задачу 1944).
X
xf(x) /у\
1956. Показать, что функция u =--\- ip [ — ) при любых
у \х/
дважды дифференцируемых функциях / и ip удовлетворяет дифференциальному уравнению
д и 2д и ди , д
и
ху г, д + У -7T^ + х— + 2у— = 0. ох оу Oyz Ox Oy
198 Гл.11. Частные производные, полные дифференциалы
§ 7. Интегрирование полных дифференциалов
1°. Чтобы выражение P dx + Q dу, где PmQ — дифференцируемые функции X ж у, было полным дифференциалом du, необходимо и
BP BQ
достаточно выполнение условия —— = ——.
Oy Ox
тт - du и ди гл
Для нахождения и из условии —— = P и —— = Q получим и =
Ox Oy
= J P dx + ipi(y), u = J Q dy + ip2(x). Выписав из первого выражения все известные члены, а из второго — члены с у, недостающие в первом, получим функцию и.
2°. Чтобы выражение P dx + Q dy + R dz, где Р, Q и R — дифференцируемые функции от х, у и z, было полным дифференциалом du, необходимо и достаточно выполнение условий:
(TP__dQ_ (TP__dR dQ__dR ду дх ' dz дх' dz ду
Для нахождения и имеем:
и= f P dx + Lpi{y, z), u=l Q dy + (p2{x, z), и = f Rdz + (p3(x, у).
Выписав из первого выражения все известные члены, а из второго и третьего — недостающие члены с у и z, получим функцию и.
Нахождение функции по ее полному дифференциалу называется интегрированием полного дифференциала.
Проверить, что следующее выражение является полным дифференциалом du, и найти и:
1957. (2ж + у) dx + (ж - 2у - 3) dy.
1958. ж sin 2у dx + ж2 cos 2у dy.
1959. (ж + In у) dx + ( —Ь sin у ) dy.
ЧУ /
X dy — у dx
1960. -f-У—.
xz + yz
1961. (yz — 2x) dx + (xz + y) dy + (жу — z) dz.
1962. ( - - \ j аж + — - ( 4 + , 1 9 ) dz.
\z xz J у \zz 1 + ZZJ
Проверить, что следующее выражение является полным дифференциалом du, и найти и:
1963. (у2 -l)dx+ (2жу + Зу) dy.
1964. (sin 2у — у tg ж) б?ж + (2ж cos 2у + In cos ж + 2у) dy.
8. Особые точки плоской кривой
199
sin2y\ , / sin 2у . , 1965. у---J- dx + ж H--- + 1 dy.
. X , 1 + Vt2 + 1 ,
1966. tA / -- H--^-=:- ОЖ.
t2 + 1
1967. (In у - cos 2z) аж + + z ) dy + (y + 2ж sin 2z) а\г.
