Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
2004. Написать уравнения нормали в точке (3; 4; 5) к поверхности конуса ж2 + у2 = z2. В какой точке конуса нормаль неопределенна?
2005. Найти углы с осями координат нормали к поверхности X2 + у2 — xz — yz = 0 в точке (0; 2; 2).
2006. Написать уравнения нормали к поверхности ж2,г-|-у2.г = 4 в точке ( — 2; 0; 1). Построить нормаль и поверхность.
2007. Показать, что касательные плоскости к поверхности xyz = = а2 образуют с плоскостями координат пирамиды постоянного объема.
2008. Показать, что сумма квадратов отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, касательной к поверхности ж2/3 + + у2/3 + Z2I3 = а2/3, равна постоянной величине а2.
2009. Найти расстояние начала координат от касательной плоскости к геликоиду у = X tg — в точке (а; а; тга/4). Построить поверхность по сечениям: z = 0; тга/4; тга/2; тга.
2010. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности az = X2 + у2 в точках пересечения ее с прямой ж = у = z.
X ^
2011. Показать, что касательная плоскость к поверхности — +
а2
у2 Z2
+ —-|—- = 1 в точке на ней (жо; Уо', ) определяется уравнением о2 с2
XX0 | УУо | ZZ0 _ ^
а2 Ь2 с2
2012. Написать уравнения нормали к поверхности ж2 + у2 — — (z — 5)2 = 0 в точке (4; 3; 0). Построить в первом октанте поверхность и нормаль.
2013. Найти углы с осями координат нормали к поверхности 2z = X2 - у2 в точке (2; 2; 0).
2014. Найти расстояние начала координат от касательной плоскости к коноиду (2а2 — z2)x2 — а2у2 = 0 в точке (а; а; а).
§11. Скалярное поле. Линии и поверхности уровней 203
2015. Показать, что сумма отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, касательной к поверхности ж1/2 + у1/2 + Z1I2 =
1 /2
= a 1 , равна постоянной величине а.
2016. В какой точке касательная плоскость к поверхности z = = 4 — ж2 — у2 параллельна: 1) плоскости хОу; 2) плоскости 2ж + + 2у + z = 0? Написать уравнения этих касательных плоскостей.
§ 11. Скалярное поле. Линии и поверхности уровней. Производная в данном направлении. Градиент
Уравнение u = F(x, у) определяет и в каждой точке (х; у) некоторой области, которая называется полем скаляра и. Вдоль каждой из линий F(x, у) = u\, F(x, у) = U2, ¦ ¦ ., где u\, U2, ... — постоянные, скаляр и остается постоянным и меняется только при переходе точки (х; у) с одной линии на другую. Эти линии называются изолиниями (изотермами, изобарами и т. п.) или линиями уровней.
Уравнение и = F(x, у, z) определяет поле скаляра и в некоторой части трехмерного пространства. Изоповерхностями, или поверхностями уровней будут
F{x, у, z) = U1, F(x,y,z) = u2, ...
Пусть точка (х; у; z) перемещается по прямой х = Xo + I cos а, у =
= уо + leos?, z = Zo + / cos 7 со скоростью — = 1. Тогда скаляр
dt
и = F(x, у, z) будет изменяться со скоростью
du du dF 3FndF
V = — = — = -7— cos a + — cos ? + — cos 7 = N • i0, dt dl ox Oy Oz
f dF dF dF}
где N < ——; ——; —— > — нормальный вектор изоповєрхности, а Ox Oy Oz J
lojcosa; cos?; cos7} — единичный вектор направления 1. Производная
du dF dF п dF ^т ,
— = —— cos а + —— cos р + —— cos 7 = N • i0
di dx dy dz
называется производной от функции и = F(x, у, z) в данном направлении lojcosa; cos/3; cos7}.
Градиентом скаляра и = F(x, у, z) называется вектор grad и = du. du. du
= —1 + ——j + —к. Градиент есть вектор скорости наибыстрейшего dx dy dz
изменения скаляра и.
2017. Пусть z = 4 — ж2 — у2. Построить линии уровней и gradz в точке A(I; 2).
204 Гл.11. Частные производные, полные дифференциалы
2018. Пусть z = arctg—. Построить линии уровней и gradz:
X
1) в любой точке прямой у = х; 2) в любой точке прямой у = —х, в частности в точках (1/2; ±1/2), (1; ±1), ...
2019. Горизонтали возвышенности определяются уравнением
h = 20-----у2. Построить горизонтали, соответствующие отметкам h = 20 м, 19 м, 18 м, 16 м и 11м. Направление grad/i определяет здесь направление линии наиболее крутого ската, а величина — крутизну этого ската возвышенности. Построить grad/i в точке X = 2 и у = 1.
2020. Найти наибольшую крутизну поверхности z2 = ху в точке (4; 2).
2021. Найти производную функции u = In (ех + еу) в направлении, параллельном биссектрисе координатного угла.
2022. Найти производную функции и = х2 + у2 + z2 в точке (1; 1; 1) в направлении l{cos45°; cos60°; cos60°} и найти graclM в той же точке и его длину. Построить поверхности уровней.
2023. Построить поверхности уровней скаляра и = х2 + у2 — — 2z и найти и построить graclM в точках пересечения оси Ox с поверхностью U = A.
X2 у2 Z2
2024. Найти производную функции и = — + — -\—-в точке
а2 о2 с2 (а; Ь; с) в направлении радиус-вектора этой точки.
2025. Пусть z = —5--. Построить линии уровней и gr&clz в
X2 + у2
точке (—1; 2) и найти |gradz|.
тт тт du
2026. Пусть и = xyz. Найти производную — в направлении,
dl
составляющем с осями координат равные углы, в любой точке и в точке (1; 2; 1).
2027. Построить поверхности уровней скаляра и = х2 + у2 — z2, определить gradM на поверхности, проходящей через начало координат, и построить его в тех точках этой поверхности, в которых у = 0 и z = 2.
