Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
1. Вычисление определенного интеграла
161
1591. Составлением интегральных сумм и переходом к пределу найти интегралы:
a a а тт
l)!ziz[ 2)/i2<fa; 3)Ie'dz'' 4^h""-
0 0 0 0
Указание. При решении второго и четвертого примеров воспользоваться результатами задач 1034 и 647.
1592. Вычислить «нижнюю» и «верхнюю» интегральные суммы
2
/dx —, разбив отрезок [1, 2] на пять равных X
1
частей. Сравнить с точным значением интеграла.
5 5
Указание. s$ = гпіАх, S5 = MiАх, где га8- — наименьшее,
8=1 8=1
a Mi — наибольшее значение подынтегральной функции в г-м частичном промежутке.
Вычислить:
3 2
1593. J Xs dx. 1594. J (х2 + dx.
1 1
4 1
1595. / Jx dx. 1596.
dx
л/4^2
і о
a\/3 3
1597. [ 0dX 1598. / ex/3dx. J а2 + Xі J
а 0
1 тг/4
1599. / —==. 1600. / smAxdx.
л/ж2 + l' о о
9 тг/3
. dx f 1 + tg2a;
1601. / —-. 1602. / -— .„dx.
;i + tg ,
4 тг/4
Указание. В задаче 1601 нужно применить подстановку х = t2; при этом пределы интеграла изменятся, что записывается в виде таб-X I 4 I 9
лицы —і f. і о • Аналогично в задаче 1602 при интегрировании подстанов-/23
кой tgx = t нужно соответственно изменить пределы.
162
Гл.9. Определенный интеграл
4 1
_ dx f* х dx
1603. / -, 1604
1 + л/2ж + 1 ' J л/4^2'
о о
1 а/2
dx
1605. / . 1606. / ./——dx.
J ех + 1 J у a - X
о о
тг/2 \/а
1607. J s'm X cos2 X dx. 1608. У ,г2л/о - х2 dx.
о о
і і
1609. J 1п(ж + 1)(/.г. 1610. У y/l + x2dx.
о о
%/з з
1611. / . 1612.
J {1 + X2Y J X + X2
1 1
1613. Из формулы задачи 1407 получить, что
ж/2 ж/2
¦Tl 7 П - 1 f ¦ П-2 7
sm X dx = - / sin ж аж,
n J
о о
и вычислить:
ООО
Вычислить:
а 3
Г Г dx
1614. (x2-ax)dx. 1615. / —.
О 2
л/3 т/6
. х dx ._ f* dx
1616. / , 1617.
л/4 - ж2 ' ' 7 соз22ж'
О тг/8
4 1
йж /" ех dx
1618. /--=-г. 1619.
1 + лЛ)2' ' J 1 + Є2х'
1 о
:2. Вычисление площадей 163
5 л/2
/Ж 6?Ж /" /-
—==. 1621. \\J2-x2dx.
і і
тг/2 тг/4
1622. J xcosx dx. 1623. у tg^tb.
о о
1624. Из формулы задачи 1407 получить, что
тг/2 тг/2
п 7 Tl-If 2
cos X ax =- / cos ж аж,
га J
о о
и вычислить:
ООО
§ 2. Вычисление площадей
1°. Площадь криволинейной трапеции А\АВВ\, прилежащей к оси Ox (рис. 31):
її
Дифференциал переменной площади А\АММ\ равен dS1 = ydx.
164
Гл.9. Определенный интеграл
2°. Площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси Oy:
Уі
Дифференциал переменной площади d,S = х dy.
3°. Площадь сектора OAB (рис. 32) кривой, заданной в полярных координатах:
s=i^xV2 W^- ®
Дифференциал переменной площади dS = -г2 dip. Вычислить площадь, ограниченную линиями:
1625. у = 4 — ж2, у = 0. 1626. у" --h — = 1. а2 Ъ2
1627. у2 = 2рж, ж = h. 1628. у = 3 — 2ж — ж2, у = 0
1629. ху = 4, ж = 1, 1630. у = In ж, ж = е, у = 0.
ж = 4, у = 0.
1631. у2 = 2ж + 4, ж = 0. 1632. у2 = ж3, у = 8, ж = 0.
1633. у2 = (4 - ж)3, ж = 0. 1634. Петлей кривой 4(у2 - ж2) + ж3 = 0.
1635. у = ж2, у = 2 — ж2. 1636. у = ж2 + 4ж, у = ж + 4.
1637. а2у2 = ж3(2а - ж). 1638. (у — ж)2 = ж3, ж = 1.
1639. Петлей строфоиды у21 (2а — і ;) = ж(ж — а)2.
1640. Цепной линией у = — (еж/а + е ж/а)5 ж = ±а и у = 0.
1641. Одной аркой циклоиды х = a(t — sin і), у = а(1 — cos t) и осью Ож.
1642. Астроидой ж = а cos3 t, у = a sin31.
1643. Лемнискатой г2 = a2cos2ip.
1644. Кардиоидой г = а(1 — costp).
1645. г = 3 + sin2(,o между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.
1646. г = 2 — cos 31P между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.
3. Объем тела вращения
165
1647. г = a cos 2<р. 1648. г = a sin 3<?.
а тг
1649. г = a(sm <уэ + cost/?). 1650. г = —, — ^ <уэ ^ 2тг.
Lp 4
• я ?
1651. г = asm —, лежащей ниже полярной оси.
3
1652. Петлей декартова листа ж3 + у3 — Заху = 0 (см. рис. 79 на с. 334) (перейти к полярным координатам).
/sin2 Lp COS2 Lp dLp о-5—— положить tg у = и, (sin у + cos3 р)2
разделив сначала числитель и знаменатель на cos6 р.
Вычислить площадь, ограниченную линиями:
1653. у = 6ж - ж2, у = 0.
1654. у = ж3, у = 8, ж = 0.
1655. у2 = 1 - ж и ж = -3.
1656. у2 + ж4 = ж2.
1657. у = ж2 + 4ж + 5, ж = 0, у = 0 и минимальной ординатой.
1658. Одной полуволной синусоиды у = sin ж и у = 0.
1659. 4у = ж2 и у2 = 4ж.
1660. жу = 6иж + у- 7 = 0.
1661. Петлей кривой ж3 + ж2 — у2 = 0.
1662. г = 3 — cos 2(/j между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.
1663. г = 2 + sin Зр> между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.
1664. г = a sin 2р>. 1665. г = acos3</?.
1666. Г = aev ОТ <у2 = —7Г ДО <у2 = ТТ.
ж2 у2 ж2 у2
1667. Общей части эллипсов ^т + 77 = 1 и 77 + ^т = 1 (перейти
а
Ъ2
к полярным координатам)
,2 .
1668. г = a(l + sin2 2р>) и г = а.
§ 3. Объем тела вращения
1°. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции AiABBi (рис. 33), где AB — дуга кривой у = f(x), определяется формулой
X2
V = Hm тту2 Ax = j тту2 dx. (1)
X1
Дифференциал переменного объема dV = тту2 dx.
