Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
dx — 3 dy 3y — z ,
1968.-- + * 0 а\г.
§ 8. Особые точки плоской кривой
Точка кривой F(x, у) = 0 называется особой, если в этой точке
^ = 0и — = 0 дх ду
Угловой коэффициент k = у' касательной в такой точке находится из
уравнения А + 2Bk + Ck2 = 0, где А, В и С — значения производных
d2F 82F 82F
, ——— и в этой особой точке. При этом возможны три случая: дх1 дх ду ду1
1) В2 — AC > 0 — две касательные; точка называется узлом;
2) В2 — AC < 0 — нет касательной; точка изолированная;
3) В2 — AC = 0 — или изолированная точка, или точка возврата, или точка самосоприкосновения; в точках возврата и самосоприкосновения существует одна общая касательная к двум ветвям кривой.
Чтобы в третьем, сомнительном, случае решить вопрос окончательно, нужно узнать, имеются ли точки кривой в сколь угодно малой окрестности исследуемой точки.
Определить области расположения, точки пересечения с осями координат, особые точки кривых и построить кривые:
1969. ж3 + ж2 - у2 = 0. 1970. у2 = (ж + 2)3. 1971. ж3 - ж2 - у2 = 0. 1972. у2 + ж4 - ж2 = 0. 1973. (у - ж)2 = ж3. 1974. у2 = ж(ж - 2)2.
Определить области расположения, особые точки и асимптоты кривых и построить кривые:
1975. (ж + 2а)3 + жу2 = 0. 1976. ж3 - у3 - Зу2 = 0. 1977. ж3 + у3 - Зажу = 0. 1978. у2(ж2 - а2) = ж4.
200 Гл.11. Частные производные, полные дифференциалы
Определить области расположения, точки пересечения с осями координат, особые точки кривых и построить кривые:
1979. у2 + ж3 - 2ж2 = 0. 1980. a2y2 = х2(2ах - ж2). 1981. у2 = ж(ж + 2)2. 1982. жу2 = (ж + а)3.
1983. 4у2 = ж5 + 5ж4. 1984. у2 - ж4 + ж2 = 0.
1985. Найти точки пересечения с осями координат, утах, особую точку и асимптоту кривой 4ж2 — у2 + ж3 — у3 = 0 и построить кривую.
Определить области расположения, особые точки и асимптоты кривых:
1986. 1) у2(2а — ж) = ж(ж — а)2 (строфоида);
2) а2(ж2 + у2) = х2у2.
1987. 1) ж(ж2 + у2) = а(х2 - у2); 2) а(ж2 + у2) = ж(ж2 - у2).
§ 9. Огибающая семейства плоских кривых
Кривая называется огибающей семейства кривых F(x, у, а) = 0, если: 1) она касается каждой кривой семейства; 2) каждая ее точка является точкой ее касания с кривой семейства, отличной от нее самой.
Огибающая семейства кривых F(x, у, а) = 0, если она существует, находится исключением параметра а из уравнений
F(x, у, а) = 0 и F'a(x, у, а) = 0.
Может, однако, случиться, что полученная этим способом кривая будет не огибающей, а геометрическим местом особых точек кривых семейства (см. ответ к задаче 1990, 2)).
Найти огибающую семейства кривых и построить огибающую и кривые семейства:
1988. I) у = ах + а2; 2) у = ах2 + -.
а
1989. 1) (ж - а)2 + у2 = R2; 2) 4ау = (ж - а)2.
1990. 1) у - 1 = (ж - а)2; 2) (у - I)3 = (ж - а)2;
3) (у - I)2 = (ж - а)3; 4) 9(у - а)2 = (ж - а)3.
1991. Отрезок постоянной длины а скользит своими концами по координатным осям. Найти огибающую семейства таких отрезков.
1992. Найти огибающую семейства окружностей, проходящих через начало координат и имеющих центр на параболе у2 = 4ж.
1993. Найти огибающую семейства окружностей, имеющих диаметрами радиус-векторы точек гиперболы ху = а2.
10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
201
1994. Из начала координат выпускается снаряд с начальной скоростью Ь под углом а к оси Ох. Найти огибающую семейства траекторий при различных а.
1995. Найти огибающую: 1) семейства прямых х cos а+у sin а —
— р = 0 при постоянном р; 2) семейства прямых у = ах -\--;
а
3) семейства кубических парабол у — 1 = (ж — а)3.
1996. Найти огибающую семейства окружностей с центрами на оси Ох, радиусами которых служат соответствующие ординаты параболы у2 = 4ж.
X2 у2
1997. Найти огибающую семейства эллипсов — + —- = 1 при
а2 о2
условии, что сумма полуосей имеет постоянную длину /.
1998. Найти огибающую семейства парабол, имеющих ось симметрии, параллельную оси Oy, и проходящих через точки ( — а; 0); (За; 0) и (0; За2) при различных а.
§ 10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть поверхность задана уравнением F(x, у, z) = 0; возьмем на ней точку М(х; у; z).
Уравнения нормали к поверхности в этой точке будут
Х — х У — у Z — z
dF/дх BFjdy BFjdz' у >
Уравнение касательной плоскости:
dF dF 8F
-(X-s) + -(Y-y) + -(Z-*) = 0. (2)
В уравнениях (1) и (2) X, Y, Z — текущие координаты нормали или касательной плоскости.
^т Г dF 8F OF \ Вектор JN < ——; ——; —— > назовем нормальным вектором поверхно-ох dy dz J
сти.
dF „ dF
Если на поверхности есть точка, в которой —— = 0, —— = 0,
dx dy
dF
—— = 0, то она называется особой. В такой точке нет ни касательной dz
плоскости, ни нормали к поверхности.
Написать уравнения касательной плоскости к поверхности: 1999. z = X2 + 2у2 в точке (1; 1; 3).
202 Гл.11. Частные производные, полные дифференциалы
2000. жу = z2 в точке (жо; Уо', Zq).
2001. xyz = а3 в точке (жо; Уо', Zq).
X2 у2 z2
2002. —т + -рг--тг = 1в точке (жо; Уо! zo) и в точке (а; о; с).
а^ ct
2003. Определить плоскость, касательную к поверхности ж2 + + Ay2 + z2 = 36 и параллельную плоскости ж + у — z = 0.
