Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
dz
1903. Найти — из уравнений:
dt
1) z = Ax2 + 2Вху + Су2, X = sin t, у = cost;
У
2) z = arctg —, X = e2t + 1, у = e2f — 1.
ж
1904. Доказать, что если z = ху + xF(u), где и = у/ж, то
+ УТГ = z + xy. dx dy
1905. Доказать, что если z = ytp(u), где и = ж2 — у2, то
1 1 z
ж dx у dy у2
dz dz dz dz
1906. Пусть z = F(x, у). Выразить — и —— через — и ——,
с>ж с>у с>и
если: 1) и = х + 2у, v = х — у; 2) и = у/ху, v = ж + у.
§ 5. Производные неявных функций
1°. Уравнение F(x, у) = 0, имеющее решение (хо; уо), определяет в окрестности Xo переменную у как непрерывную функцию X при
dF a. n
условии, что производная —— Ф (J и непрерывна в некоторой окрестно-
dt/
сти точки (хо; уо)-
Если сверх того, в окрестности точки (хо; уо) существует и непре-
8F г dy
рывная производная ——, то неявная функция имеет производную —,
Ox dx
определяемую формулой
dy dF/dx
dx dF/dy'
(1)
2°. Уравнение F(x, у, z) = 0 при аналогичных условиях определяет z как неявную функцию х и у, имеющую частные производные
dz dF/dx dz dF/dy
~dx~ = ~dF/dz] dy = ~dF/dz' ^ '
и „ dy
Найти — из уравнении:
dx
1907. ж2 + у2 - 4ж + 6y = 0.
5. Производные неявных функций
193
1908. 1) ж2/3 + у2/3 = а2/3; 2) хе2у - уе2х = 0.
1909. Ax2 + 2Вху + Cy2 + 2Dx + 2Fy + F = O. Найти угловой коэффициент касательной к кривой:
1910. ж2 + у2 = 10у в точке пересечения ее с прямой ж = 3.
1911. ж3 + у3 — 2ажу = 0 в точке ж = у = а.
1912. Найти точки, в которых касательная к кривой ж2 + у2 + + 2ж — 2у = 2 параллельна: 1) Ох; 2) Oy.
dz dz Найти — и —— из уравнений: ox Oy
1913. ж2 + у2 + z2 - 6ж = 0. 1914. z2 = ху.
1915. cos (аж + by — cz) = k(ax + by — cz).
1916. Доказать, что если xyz = а3, то
dz dz
Х7Г + УТГ = ~2z-ох оу
1917. Показать, что дифференциальному уравнению
dz dz
Х1Г + УТГ = z ох оу
удовлетворяет неявная функция z, определяемая уравнением (конических поверхностей) z/x = <р(у/х).
тт „ dy
Найти — из уравнении:
аж
1918. ж2 - 4у2 = 4. 1919. жу + In у + In ж = 0. 1920. ж + у = еу1х. 1921. 2 cos (ж - 2у) = 2у - ж.
1922. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у2 — — жу = 4 в точках пересечения ее с прямой ж = 3.
dz dz
1923. Пусть ж2 + у2 + z2 - 2zx = а2. Найти — и —.
dx dy
1924. 2 sin (ж + 2у — 3z) = ж + 2у — 3z. Показать, что
dz dz ^ dx dy
1925. Показать, что дифференциальному уравнению
dz dz
т1Г + п7Г = 1 ох оу
удовлетворяет неявная функция z, определяемая уравнением (цилиндрических поверхностей): ж — mz = <р(у — nz).
194 Гл.11. Частные производные, полные дифференциалы
§ 6. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков
Пусть дана функция z = F(x, у), имеющая частные производные 8F 3F тт
—— и ——. Частные производные от этих производных называются частое Oy
ными производными второго порядка. Они обозначаются: d(dF/dx) 82F d(dF/dx) d2F
dx dx2 ' dy dx dy'
d(dF/dy) _ d2F d(dF/dx) _ d2F dx dydx' dy dy2
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего порядка и других высших порядков.
Смешанные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны, если они непрерывны:
d2F d2F d3F d3F d3F
и т. д.
dx dy dydx' dx2dy dxdydx dydx2
Получим следующую таблицу производных высших порядков:
d2F d2F d2F второго порядка —^, ,
dx^ dx dy dy^
d3F d3F d3F d3F третьего порядка ——, , , -7-^ и т. д.
dx° dx^dy dxdy^ dy° Полные дифференциалы высших порядков определяются так:
,2 92Z72 „ d'2z , , d2z , о dz= —— dx + 2 dx dy + —- dy .
dx^ dx dy dy^
Символически это равенство можно записать так:
У2 ( д Д д J V d z = [ — dx + — dy ) z. \dx dy J
Аналогично , g g ч з
d3z = I — dx + — dy) z \dx dy J
и т. д.
1926. Найти частные производные третьего порядка функции
с3 + х2у + у3.
d2z 82Z
1927. Проверить, что ——— = ——— для функций: 8х 8у 8у 8х
1) z = sin (ax — by); 2) z = x2/у2; 3) z = In (x — 2y).
6. Частные производные высших порядков
195
1928. Найти частные производные четвертого порядка функции и = х4 + Ъх2у2 - 2у4.
1929. Найти частные производные третьего порядка функции u = у/х.
, (\ 1\ O2S 82S 1
1930. Пусть s = In I---; проверить, что ——— + —— =
\Х t J OX Ot OX2 Хг
1931. Найти частные производные второго порядка функции У
z = arctg —.
X
тт • ( Х У\
1932. Доказать, что если z = sm--— , то
Va о J
д д\2 Ґ1 Iх2
дх^ду) \ а Ь /
1933. Доказать, что если u = arctg (2ж — t), то
д2и 2 д2и Q дх2 дх dt
1934. Доказать, что если s = \Уаж + Ы, то
д д\2 2s
dx+tdtj " 9
1935. Показать, что функция и = хе~у/х удовлетворяет дифференциальному уравнению
д2и (ди ди\ д2
'и
~І2 ¦
дх ду \дх ду J ду
1936. Доказать, что если z = F(x, у) — однородная функция га-го измерения, то
