Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
С —? Ъ
Hm / f(x) dx + Hm / f(x) dx,
a c+S
если эти пределы существуют и конечны.
7. Несобственные интегралы
173
Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными.
Если приведенные выше пределы конечны, то говорят, что несобственные интегралы сходятся, если нет, — то расходятся.
2°. Сходимость несобственного интеграла часто устана-
+ OO
вливается методом сравнения: если при х > а|/(ж)| <С <р(х) и J <р(х) dx
а
+ оо
сходится, то сходится и J f(x) dx. Аналогичный признак сходимости
а
можно указать и для интеграла от разрывной функции. Вычислить интегралы:
OO OO OO OO
. f* dx ¦ f* dx ¦ f* dx ¦ f* dx
1111
OO OO OO
1749. 1) J e~x dx;
„2
ze x dx; 3)
dx
1 + ж2'
0 0 1
OO oo oo
110
OO OO OO
f dx f arete; x dx . f dx
2 11
6 2 2
._ V f* dx _ V f* dx _ V f* dx
1751. 1) / -2) / ——; 3)
У(4^Р' ' J (x - l)2' ' J {/Tx-^lY' z о о
1752. Исследовать сходимость интегралов:
OO OO OO
f dx f dx f e~x dx
l4VTTV'' 3)У—;
0 2 1
OO OO OO
f sin X dx f X dx f ¦2 ,
4) J —¦• 5) J 7Р+Т! 6) I' dx-
12 0
174
Гл.9. Определенный интеграл
1 Ь
¦ f* dx ¦ f* dx , _ ¦ ™.1)у-; 2) J ^—^ (при Ъ > а).
О а
Указание. Рассмотреть три случая: n = 1 — а < 1, n = 1 и n = 1 + а > 1.
1754. Вычислить площадь, заключенную между локоном у = 1
— -- и асимптотой этой кривой.
1 + .
1755. Вычислить площадь, заключенную между кривой у ¦¦ хе~х /2 и ее асимптотой (при х > 0).
1756. Вычислить площадь, заключенную между циссоидой у2
„3
— и ее асимптотой.
2а
Указание. Положив х = 2а sin21, перейти к параметрическим уравнениям.
1757. Найти объем тела, образованного вращением циссоиды
у2 = - вокруг ее асимптоты (см. задачу 1756).
2а — X
1758. Определить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox бесконечной дуги кривой у = е~х при положительных X.
1759. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox бесконечной ветви кривой у = 2 (---- ) при X ^ 1.
\Х Xі J
1760. Показать, что при то целом и положительном 1):
OO
.2
1) I e-xxmdx = m\] 2) le-xx2m+1dx
1761. Вычислить интегралы:
OO
1) / —; 2) / Ж2е- da;; 3) / -; 4)
;2
2 0 11
1П ,
^Функция J є х Xі 1 da; = T(t) называется гамма-функцией от t. Прицелом
о
t > 1, как это следует из задачи 1760, 1), T(t) = (t — 1)! Полагая здесь t = 1,
со
цолучим условно 0! = Г(1) = J е~хх° dx = 1. Поэтому принято считать 0! = 1.
о
8. Среднее значение функции
175
In X
Указание. В примере 3) при нахождении lim - применить
х-юо X
правило Лопиталя.
OO OO OO
)f* dx ¦ f* dx ¦ f* dx / — ; 2 / ; 3) / —0-т.
1 O V 1
1763. Вычислить площадь, заключенную между кривой у = = е~2х и осями координат (при х > O).
1764. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy площади бесконечной длины, заключенной между линиями:
ху = 4, у = 1, X = 0.
1765. Определить объем тела, образованного вращением кривой у = хе~х12 (при X > O) вокруг ее асимптоты.
§ 8. Среднее значение функции
Теорема о среднем. Если на отрезке [а, 6] функция/(ж) непре-
ъ
рывна, то между пределами интеграла j f(x) dx найдется такое х = с,
a
при котором
ъ
j f(x)dx = (b-a)f(c). (1)
a
Значение функции
ъ
J f(x) dx
Ут = /(с) = Я (2)
называется средним значением функции f(x) на отрезке [а, 6].
1766. Определить среднее значение функции:
1) у = sin X на отрезке [0, тг];
2) у = tgx на отрезке [0, 7г/3];
3) у = In X на отрезке [1, е];
4) у = X2 на отрезке [а, 6];
1
5) у =-- на отрезке —1, 1 .
' У 1 + Х2 1 L)J
Указать на чертеже среднее значение функции в каждом примере.
176
Гл.9. Определенный интеграл
§ 9. Формула трапеций и формула Симпсона
1°. Формула трапеций:
f(x) dx Pd h
Уо + Уп
где h = (b — a)/n, а уо, у\, у2, ¦ ¦ ¦, Уп —равноотстоящие ординаты кривой у = f(x) на отрезке [а, 6]. Погрешность формулы (I):
fl)
2°. Параболическая формула Симпсона для двух полос:
f(x) dx Pd -(+ Ay1 + j/2),
где h = (b — a)/2.
3°. Формула Симпсона для 2и полос:
(II)
f(x) dx
Уо + У2п + 4 2/2і-1 + 2 ^2
У2І
(III)
где h = (b — a)/2n. Погрешность формул (II) и (III)
(2)
т. е. формула (II) является точной для парабол второй и третьей степеней: у = a + bx + сх2 + dx3.
и оценить
1767. Вычислить по формуле трапеций In 2 = погрешность по формуле (1).
5
1768. По формуле Симпсона (III) вычислить интегралы J х3 dx
і
2
и / х* dx, оценить погрешность по формуле (2) и результаты срав-
нить с точными значениями интегралов.
9. Формула трапеций и формула Симпсона
177
1769. По формуле Симпсона (III) вычислить интегралы:
2 тг/2
1) / V7I + X3 dx (2га = 4); 2) [ л/3 - cos 2х dx (2га = 6);
о о
4
-——- (2га = 4) и оценить погрешность, полагая в форо
Муле (2) Приближенно /i4|t/IV|max ~ |Л4у|тах-
1770. Найти по формуле Симпсона (II) объем бочки высотой 50 см с диаметром каждого дна 20 см и с диаметром среднего сечения 30 см.
