Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ж 9и 1 du у dx In ж с/у
1873. Ниже, в задаче 1898, будет доказана следующая теорема Эйлера:
Если z = F(x, у) — однородная функция степени га, то
dz dz
Х7Г + УТГ = га2:-dx dy
Проверить эту теорему Эйлера для функций:
1) z = ж3 + жу2 — 2у3; 2) z = л/ж2 + жу + у2;
3) г = „ 1 „; 4)г = еЕ/».
ж^ — yJ
Найти частные производные функций: 1874. z = cos (аж - by). 1875. г = arcsin —.
1876. z =---. 1877. и = In sin (ж - 2i).
Зу — 2ж
1878. и = sin2 (ж + у) - sin2 ж - sin2 у.
3. Полный дифференциал первого порядка
189
1879. Доказать, что если u = л/ж2 + у2 + z2, то
du\2 (ди\2 (дих 2
dx J dz
1880. Доказать, что если z = ex/ylny, то dz dz z
хіг + утг = і—•
Ox Oy In у
[T BT дТ
1881. Доказать, что если T = тт* / —, то /—— + ^=— = 0.
о/ dg
1882. Доказать, что если z = exl2 sin — , то
9z dz\2 1 „ . о у dx dy J 2 2
1883. Проверить теорему Эйлера об однородных функциях (см. задачу 1873) для функций:
ж3 1 у
l)z=-; 2) Z=———-; 3) z = arctg-.
ж — у xz + yz X
§ 3. Полный дифференциал первого порядка
Если функция z = F(x, у) имеет в точке (х; у) непрерывные частные производные, то ее полное приращение может быть представлено в виде
Az= ^Ax+ |ду + ер, (1)
где є —?> 0 при р = л/1Ах\2 + \ Ау\2 —У 0. Тогда выражение —— Ax+ —Ay
ox Oy
есть главная часть полного приращения Az; она называется полным дифференциалом функции и обозначается dz:
dz . dz . dz= -Ах+-Ay. (2)
Полагая в формуле (2) z равным: 1) х; 2) у, найдем: dx = Ах, dy = Ay. Поэтому
dz dz
dz = TTdx + тгаУ- (3)
190 Гл.11. Частные производные, полные дифференциалы
Из (1) следует, что
Az w dz, (4)
т. е. при достаточно малых Аж и Ay полное приращение функции приближенно равно ее полному дифференциалу (гл. 5, §7).
Функция F(x, у) называется дифференцируемой в точке (х; у), если она имеет в этой точке полный дифференциал.
1884. Найти полные дифференциалы функций:
I) Z = х2у; 2) Z= ЛИЛ-; 3) и = es/f; 4) z = л/х2 + у2. X — у
1885. Найти значение полного дифференциала функции:
у
1) z = — при X = 2, у = 1, dx = 0,1, dy = 0, 2;
X
2) и = еху при X = 1, у = 2, dx = — 0,1, dy = 0,1.
1886. Вычислить dz и для функции z = ху при ж = 5, у = 4, Аж = 0,1, Ay = -0,2.
у
1887. Подсчитать приближенно изменение функции <р = arctg —,
ж
когда ж изменяется от 2 до 2,1, а у — от 3 до 2,5.
1888. При деформации цилиндра его радиус R увеличился с 20 см до 20,5см, а высота H уменьшилась со 100 см до 98 см. Найти приближенно изменение объема V по формуле AV Ki dV.
1889. Катеты прямоугольного треугольника, измеренные с точностью до 0,1см, оказались равными 7,5 см и 18 см. Определить абсолютную погрешность при вычислении гипотенузы.
1890. Найти полные дифференциалы функций:
1) z = —--; 2) s = ж In t; 3) и = л/ж2 + у2 + z2.
X у
1891. Найти значение dz и Az для функции z = In (ж2 + у2), когда ж изменяется от 2 до 2,1, а у — от 1 до 0,9.
тт • У
1892. Подсчитать приближенно изменение функции z = arcsin —,
ж
когда ж изменяется от 5 до 4,5, а у — от 3 до 3,3.
1893. При деформации конуса его радиус R увеличился с 30 см до 30,1см, а высота H уменьшилась с 60 см до 59,5см. Найти приближенно изменение объема по формуле AV Ki dV.
4. Производные сложных функций
191
§ 4. Производные сложных функций
1°. Если z = F(x, у), X = f(t), у = <p(t), то z называется сложной функцией от t. При этом
dz dz dx dz dy
— =---1---(1)
dt dx dt dy dt '
если функции F, f и p дифференцируемы.
2°. Если z = F(x, у), где х = f(u, v), у = р(и, v), и если функции F, f и Lp дифференцируемы, то
dz dz dx dz dy dz dz dx dz dy du dx du dy du' dv dx dv dy dv
(2)
dz
1894. Найти по формуле (1) — из уравнений:
1) z = ж2 + жу + у2, X = t2, у = t;
2) z = \JX2 + у2, X = sint, у = cost.
Проверить предварительной подстановкой значений ж и у в выражение для функции Z.
dz Vt ot
1895. Найти —, если z = —, ж = е , у = 1 — е .
dt X
dz
1896. Найти —, если z = и , где и и v — функции от ж.
dx
dz
1897. Найти —, если z = же", где у — функция от ж.
dx
1898. Функция z = F(x, у) называется однородной, если F(xt, yt) = tn ¦ F(x, у). Дифференцируя обе части этого равенства по t и полагая в результате t = 1, доказать теорему Эйлера об
dz dz
однородных функциях: ж——Ь Утг~ = nz.
dx dy
dz dz X2
1899. Найти — и ——, если z = —, где ж = и — 2v, у = v + 2и.
du dv у
dz dz dz dz
1900. Пусть z = F(x, у). Выразить — и —— через — и ——,
ох dy du dv
если:
1) и = тх + пу, V = рх + qy; 2) и = ху, v = у/ж.
1901. Пусть и = F(x, у), где ж = г cos Lp, у = г sin Lp.
du du du du
Выразить —— и —— через — и —— и показать, что dr dp> dx dy
du\2 [ldu\2 fdu\2 fdux2
dr 1 ~^\rdp>) \dx) \dy
192 Гл.11. Частные производные, полные дифференциалы
1902. Пусть z = у + F(и), где U = X2 — у2. Доказать, что dz dz
у——\- х— = X для любой дифференцируемой функции F(и), dx dy
