Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
1 - t2 , 2 dt
dx
l+t2' l+t2'
Найти интегралы:
e2x — 2ex C
1500. / —--dx. 1501. / tg4xdx.
e2- + l J
, e3x dx f dx
1502. / -. 1503.
ex + 2 J sin
dx f dx
1504. / -. 1505.
5 + 3 cos X J 3 sin X + 4 cos
dx f dx
1506. / -г—. 1507.
SlIl4 X jl + 3 COS2 X
Указание. В задачах 1506, 1507, 1512, 1513, где под интегралом sin ж и cos X содержатся только в четной степени, лучше применять подстановки
¦2 і'2 2 I , dt
tex = t, sin X =---, cos X =---, dx
l + t2' l + t2' l+t2
Найти интегралы:
1508. I -——. 1509. I tg5xdx. ex - 1
, e3x dx f dx
1510. / —--. 1511.
e2x — 1 J 3 + cos X
( dx ( dx
1512. / -—. 1513
cos4 X J 1 + 3 sin2 X
156
Гл.8. Неопределенный интеграл
1514.
1516.
dx
2 sin X + sin 2ж ех + 1
1
dx.
1515.
1517.
1 + COS X
sin3 X
dx.
1 + tgx sin 2x
dx.
§ 9. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболические подстановки
1. / ch X dx = sh X + С. 2. [ sh х dx = ch х + С.
dx ch2 ж
th ж+ С*. 4.
dx sh2 ж
¦ cth X + С.
Интегралы от квадратов и других четных степеней ch ж и sh ж находятся применением формул:
ch 2ж + 1
ch 2ж - 1
sh 2а
ch2 ж = -, sh2 ж = -, sh ж ch L
2 2 2
Интегралы от нечетных степеней sh ж и ch ж находятся тем же способом, что и интегралы от нечетных степеней sin Ж И COS ж.
Гиперболические подстановки иногда применяются при нахождении интегралов вида
R ж, у ж2 — а2 йж — подстановкой ж = acht;
^ж, \/ х2 + a2) dx — подстановкой ж = asht.
При этом: если ж = acht, то t = In
если ж = a sh t, то t = In ¦ Найти интегралы:
ж + л/ X2 — а2
+ л/х2 + а2
1518.1) sh23xdx; 2) / (1 + sh 2ж)2 dx
1519. / ch жаж. 1520. / іііжаж
1521.
dx
ch ж + 1
1522.
dx
th ж — 1
10. Смешанные примеры на интегрирование
157
1523. / \/x2 + a2dx. 1524. / Vx2 - a2 dx
dx f dx
1525. / , 1526.
V(^2 + 4)3' J y/(x2 - 5)
Найти интегралы:
1527. I sh33xdx. 1528. / sh2xch2xdx.
1529. J sh xchxdx. 1530. J cth їй.
/" r-,- , f 1 + 2 sh ж
1531. / Vch ж + Уі. 1532. / ¦
ch2 ж
йж.
ж2 dx f \/X2 + 3 ,
1533. / ; 1534. / -—/r—dx.
§ 10. Смешанные примеры на интегрирование
Найти интегралы:
, Vl + х dx f arctg ж dx
1535. / -^—--. 1536. / , , •
ж J 1 + Xі
dx Ї dx
1537. / —--. 1538.
ж3 + аж2 У 1 + sin ж
йж /* йж
1539. / , 1540.
\J х(\ — х) J sin2 ж/а2 + cos2 ж/62
1541. / ж cos2 xdx. 1542.
dx
е2х + ех
! 1 — X , f cos2 ж йж
1543. / д/--аж. 1544.
1 + ж
1545. / ж^2жаж. 1546.
• 4
sm ж
cos2 ж йж
sm ж
sin х dx f dx
1547. / —-—. 1548.
Ь2 + cos2 ж ' У V^?2 + 2V^
/ах — b , f dx --— dx. 1550. / —--. (аж+ 6)4 J ж4+ ж2
158
Гл.8. Неопределенный интеграл
1551. 1553. 1555. 1557.
1559.
1561. 1)
1562. 1) 1563. 1565. 1567. 1569. 1571. 1573. 1575. 1577. 1579. 1581.
dx
(sin X + cos ж)
(a - bx3)n ' dx
(і + лА)3
ex - 2
p2x _|_ 4
CtS4X dx
dx.
cos Зж
<іж;
<іж
V« + a + д/ж'
x4+l dx
dx.
x\/x3 — 1
arcsm д/ж д/ж
cos 2ж
dx.
• 4
sm ж
dx.
dx
In (ж + 1) dx
X2
dx 1 + sin2 ж
е-^гіж.
д/tg ж <іж sin 2ж
аж dx a2x + 1'
1552
<іж
жд/я + 6 In ж 1554. J \/і - 2ж- x2dx.
1556. 1558. 1560. 2) 2) 1564. 1566. 1568. 1570. 1572.
arctg ж dx
dx
(2ж+ 1)(1 + л/2ЇТТ)'
¦ <іж.
¦ <іж.
sin Зж dx
\/ X2 + 1 — ж
д/ж2 + 2ж
<іж.
ж° <іж
1 + tgж
sin 2ж --— аж.
cos4 ж
In (cos ж) <іж sin2 ж
sin3 ж <іж
1574. J л/Г
1576.
1578.
1580.
1582.
— sin ж dx.
ж4 - ж2 - 2 arctg д/ж <іж
1 — sin д/ж
<іж.
§ 10. Смешанные примеры на интегрирование 159
/(х + 1)3 Г X aresin X dx
\ -,-TT^ dx. 1584. / -, V(^-I)2 J VT^2
/dx f X2 dx -, 1586. /--—. X2Vx^J J (x +1)4
/X — a , f Ax + 1
dx. 1588. / —j—-dx. V2ax + x2 J 2x + X X
/cos3 X + 1 f dx -=5-dx. 1590. / —-. sin2 X J X4 + 4
Глава 9
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Вычисление определенного интеграла
Пусть на отрезке [а, Ь] определена функция /(ж). Разобьем отрезок [а, Ь] на п частей точками a = X0 < х\ < X2 < . . . < Xn = Ь. Из каждого интервала (жг-_і, жг-) возьмем произвольную точку ?8- и составим сумму
п п
f(Ci)і, где Ахі = Xi — Xi-\. Сумма вида f(Ci)^-xi называется
8=1 8=1
интегральной суммой, а ее предел при max Ахі —ї 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции f(x) в пределах от а до 6 и обозначается
f(x) dx
lim
max Дж,-
і Аж,-
Функция /(ж) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [а, Ь].
Для интегрируемости достаточно, чтобы на отрезке [а, Ь] функция была непрерывна или же имела конечное число конечных разрывов.
Пусть /(ж) непрерывна на [а, Ь]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл
и имеет место формула
J /(ж) dx = F(b) - F(a) = J /(ж) dx\ba, (3)
а
т. е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах. Формула (3) называется формулой Ньютон а-Л е й б н и ц а.
