Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
166
Гл.9. Определенный интеграл
ттх2Ay = / 7
J
2°. Шьем тела, образованного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, пдилекащей к оси Oy, определяется
ттх2 dy. (2)
|іал переменного объема dV
Определить ничейной линиями:
1669. у2 = 2рх и х\
ла, обраЬованнопо вращением фигуры, огра-
1670.
У_
ъ2
±Ьч^окрууоси Oy.
1671. ху = 4, X =/\,_\ж = 4, yVCj/вокруг оси Ож.
1672. у2 = (ж + 4)3 и ж = 0 вокруг оси Oy.
1673. ж2 + у2 = а2 вокруг прямой ж = Ъ > а. Указание. dV = 7г(6 + ж)2 dy — тт(Ь — х)2 dy = АттЬх dy.
1674. у = ach —, X = ±a, у = 0 вокруг оси Ож.
a
1675. у2 = 4 — ж, ж = 0 вокруг оси Oy.
1676. (у — а)2 = аж, ж = 0, у = 2а вокруг оси Ож.
1677. у = cos жну= —1 вокруг прямой у = — 1 при —тт ^ ж ^ тт.
1678. у = ж л/—ж, ж = —4 и у = 0 вокруг оси Oy.
г-- 3.
Л
1679. у = cos
0, у = 0 (при ж > 0) вокруг оси Oa
1680. у = а
и ж + у = а вокруг оси Oy.
Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
1681. у = sin ж (одной полуволной), у = 0 вокруг оси Ож.
1682. ж2 — у2 = 4, у = ±2 вокруг оси Oy.
1683. у = --, ж = ±1, у = 0 вокруг оси Ож.
1 + Xі
4. Длина дуги плоской кривой
167
Л у2
1684. — + —- = 1 вокруг оси Oy.
a
b2
1685. ж2/3 + у2/3 = а2/3 вокруг оси Ох.
1686. у = ж3, ж = 0, у = 8 вокруг оси Oy.
1687. ж2 — у2 = a2, X = ±2а вокруг оси Ох.
1688. у = ж2, у = 4 вокруг прямой ж = 2. Указание. с/У = тт(2 + х)2 dy — тт(2 — х)2 dy.
1689. Одной арки циклоиды ж = а(/ — sin/), у = а(1 — cos/) вокруг оси Ож.
1690. (у — З)2 + Зж = 0, ж = —3 вокруг оси Ож.
§ 4. Длина дуги плоской кривой
1°. Длина дуги AB кривой у = f(x):
хв
S= / Jl + y'2dx.
ха
Дифференциал дуги ds = \J\ + у'2 dx = \Jdx2 + dy2.
2°. Длина дуги AB кривой х = /(/), у = cp(t):
s = J Ji2 + у2 dt. (2)
3°. Длина дуги AB кривой г = f(cp):
Vb
S= / л/г2 + г'2 dip. (3)
Ч>А
Определить длину дуги кривой:
1691. у2 = ж3, отсеченной прямой ж = 4/3.
1692. Всей кривой ж2 + у2 = а2.
1693. Всей кривой ж2/3 + у2/3 = а2/3.
1694. у2 = (ж + I)3, отсеченной прямой ж = 4.
1695. Одной арки циклоиды
X = a(t — sin /), у = а(1 — cos /). /6 /4
1696. ж = —, у = 2--между точками пересечения осями
6 4
координат.
168
Гл.9. Определенный интеграл
1697. у = —— 1, отсеченной осью Ou
Указание. J \/1 + х2 dx можно или найти по частям, или написать по формуле задачи 1366.
a , і і X
1698. у = —(ex/a + е~х/а) = ach — между прямыми х = ±а.
1699. у = In X от X = 3/4 до х = 12/5.
/^J\ _j_ X2 dx - находится подстановкой X
1 + X2 = t2.
1700. у = In (2 cos ж) между смежными точками пересечения с осями координат Oy и Ох.
1701. 1) 9у2 = ж(ж — З)2 между точками пересечения с осью Ох. 2) е2у th ж = 1 от ж = 1 до ж = 2.
1702. 1) Кардиоиды г = а(1 — cost/?).
2) Первого завитка спирали г = аср.
Q СО
1703. Всей кривой г = a sin —.
1704. Гибкая нить подвешена в точках А я В, находящихся на одной высоте на расстоянии AB = 26, и имеет стрелу прогиба /. Считая форму нити параболой, показать, что длина нити s и
/ 2 f2\ f
~ 26 [ 1 Ч---^-I при достаточно малом —.
\ 3 о2 / о
Указание. Применить приближенную формулу \/1 + а Pd 1 + —а задачи 1157.
Определить длину дуги кривой: 4
1705. у2 = -(2 — ж)3, отсеченной прямой ж = —1.
1706. у = In (sin ж) от ж = 7г/3 до ж = 2ут/3.
1707. у = In (1 - ж2) от ж = -1/2 до ж = 1/2.
1708. у2 = 2рх, отсеченной прямой ж = р/2.
1709. ж = t2, у = —(t2 — 3) между точками пересечения с
3
осью Ох.
5. Площадь поверхности вращения
169
§ 5. Площадь поверхности вращения
1°. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги AB кривой у = f(x):
Px = 2тт J yds, где ds = \/dx'1 + dy'1.
AB
2°. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Oy дуги AB кривой X = tp(y):
Py = 2тт J X ds, где ds = \/dx'1 + dy'1.
AB
Определить площадь поверхности, образованной вращением кривой:
1710. х2 + у2 = R2 вокруг оси Ох.
1711. у = х2/2, отсеченной прямой у = 1, 5, вокруг оси Oy.
X
1712. у = ach — между х = ±а вокруг оси Ох.
a
1713. 4х2 + у2 = 4 вокруг оси Oy.
Указание. Приняв у за независимую переменную, получим, что
2
искомая площадь P = тт J \/і6 — Зі/2 dy. Далее применяем подстановку
о
4 . у = —¦= smt.
Уз
1714. Одной полуволны кривой у = sin х вокруг оси Ох.
1715. Одной арки циклоиды х = a(t — sin і), у = a(l — cost) вокруг оси Ox.
1716. Петли кривой X = t2, у = -(t2 — 3) вокруг оси Ох.
3
1717. X2 + у2 = а2 вокруг прямой х = Ъ > а. Указание. dP = 2тг(Ь + х) ds + 2тг(Ь — х) d.s.
Определить площадь поверхности, образованной вращением вокруг Ох:
тт X3
1718. Дуги кривой у = — от х = —2 до х = 2.
3
170
Гл.9. Определенный интеграл
1719. Дуги кривой у2 = 4+ ж, отсеченной прямой ж = 2.
1720. Всей кривой ж = a cos3 і, у = a sin3 t.
t3 t2
1721. Дуги кривой X = —, у = 4 — — между точками пересечения с осями координат.
§ 6. Задачи из физики
1722. Определить силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 8м и высотой 6м. Определить также силу давления на нижнюю половину шлюза.
1723. Определить силу давления воды на вертикальную треугольную площадку, основание которой а расположено на поверхности воды, а высота равна h.
