Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
38 Библиографические данные приведены в книге Целлера [1]. 37 Кроме Пеано и Стилтьеса с их, в некотором смысле преждевременными, идеями.
54
§ в. Я-множества и Я-функции
Предыдущие параграфы настоящей главы были посвящены описанию отдельных работ. Продолжение нашего исследования в том же плане вряд ли реально осуществимо. За рассматриваемый период (1895—1915 гг.) Борель, помимо уже указанных, опубликовал около четырех десятков работ по теории множеств и функций; почти столько же принадлежит Лебегу; примерно два десятка появилось у Бэра; кроме того, к исследованиям по теории функций подключились другие французские математики— Фреше, Фату, Данжуа и др. Даже краткое их описание заняло бы очень много места, а если хотя бы в минимальной степени связать их с работами по этому предмету ученых других стран, что становится необходимым вследствие тесного переплетения исследований, задача еще более усложняется. Поэтому мы в дальнейшем будем рассматривать отдельные направления исследований, наиболее характерные, на наш взгляд, для выбранного предмета исторического изучения.
В этом отношении на первое место выдвигаются, несомненно, исследования по теории ?-множеств и ?-функций. Действительно, множества, измеримые по Борелю, или ?-множества, и функции, входящие в классификацию Бэра, или B-функции, были введены почти одновременно и некоторое время изучались Боре-лем, Бэром и Лебегом вне связи друг с другом. Затем Лебег объединил их и получил фундаментальные результаты по тем и другим. Вместе с тем при их изучении возникло множество интересных нерешенных проблем, изучением которых занялись ученые других стран.
Как мы говорили (с. 33), B-множества ввел в 1898 г. Борель. Он очень кратко описал их, применил для решения конкретной задачи теории функций комплексного переменного, а затем не обращался к ним до 1905 г., но и тогда не добавил ничего нового по сравнению с первоначальным определением. Мы высказали (с. 35) в связи с этим предположение, что он не осознал тогда основоположности ?-множеств для развития теории множеств и функций.
Напротив, Бэр, который ввел свою классификацию функций в том же 1898 г., основное внимание уделил именно изучению функций, входящих в эту классификацию.
Первым большим достижением в этом изучении явилась теорема о функциях первого класса. О ней мы тоже уже говорили (с. 37, 38) и к сказанному добавим следующее. В заметке [2] Бэр лишь наметил схему доказательства этой теоремы. В следующем году он посвятил ей почти всю вторую главу своей диссертации [5, с. 19—63], но ограничился лишь функциями одного переменного. Еще через год он дал ей другой вариант доказательства [8], приспособленный для многомерного случая. В 1905 г. Бэр посвятил этой теореме и необходимым для ее доказательст-
55
ва фактам нз теории множеств и функций курс лекций в Коллеж де Франс, составивших содержание его книги [10]. Все предыдущие доказательства Бэра теоремы о функциях первого класса относились к функциям, заданным на сегментах или на замкнутых (даже совершенных) множествах. В 1906 г. Бэр [13, с. 12—21] изучил более общий вопрос задания функции на произвольном множестве n-мерного евклидова пространства и решил проблему нахождения необходимых и достаточных условий, при которых эту функцию можно пополнить так, чтобы она стала функцией первого класса на замкнутом множестве. Наконец, в 1909 г. Бэр доказал эту теорему для функций, заданных на множествах последовательностей пространства Бэра и принимающих действительные значения [17, с. 123—128].
По крайней мере четырежды к теореме Бэра обращался Лебег. О распространении им в 1899 г. этой теоремы на функции нескольких переменных уже говорилось (с. 41). В 1904 г. Борель готовил к печати свои «Лекции по теории функций действительного переменного и их разложениях в ряды многочленов» [29]. Здесь он лишь сформулировал (с. 98) без доказательства теорему Бэра, но зато поместил в виде приложения 2-е доказательство, предложенное Лебегом38. В предшествующих доказательствах Бэра существенно использовались трансфинитные числа. В [22] Лебег обошелся без них, введя понятие функции, непрерывной с точностью до є на замкнутом множествеэв, и сформулировал теорему Бэра эквивалентным образом в виде утверждения: для того чтобы функция / была класса 0 или 1, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 область задания / можно было разложить на сумму счетного множества замкнутых множеств, на каждом из которых / непрерывна с точностью до е. В другой статье, написанной вслед за тем, но опубликованной из-за задержки с печатанием книги Бореля несколько ранее [22], Лебег [14] распространил свое доказательство на функции любого числа переменных. Наконец, в 1905 г. Лебег [21, с. 181—182] получил эту теорему из более общих соображений, относящихся к ?-множествам и ?-функциям, о которых будет речь несколько далее.
К теореме о функциях первого класса обращались затем многие ученые40 и не только вследствие уже отмечавшейся фундаментальной важности этой теоремы для анализа и теории функций (с. 38). Дело в том, что при поисках новых доказательств ее разрабатывались новые методы, пригодные во многих других вопросах. Ранее упоминался (с. 41) метод Лебега сведения п-мер-
