Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
49
функции в области ее существования, отыскание аналитических выражений для функций достаточно широких классов. Задача суммирования расходящихся рядов имела для них вспомогательный характер, но они по ходу дела вносили определенный вклад и в нее.
Так, например, хотя Борель с самого начала формально определил 34 сумму расходящегося ряда
OO
S Un (1)
для любой целой функции
OO
Ф (X) = 2 спх" (2)
действительного переменного х, удовлетворяющей при любом п условию 11Ш —---°°> как
л:-»оо X
lim у. cnx"Sn, (3)
где Sn— частные суммы ряда (1), тем не менее он фактически изучал и применял частный случай, когда ф(лг)=е*, а предел (3) имел вид
OO „
Um er* у. Sn. (4)
п—са 4-1 П\ п=о
В этом случае при суммировании ряда Тейлора
OO
S с"г" (5)
область суммируемости строилась относительно просто. Если Zi — особые точки функции, определяемой рядом (5), то эти точки соединялись прямыми с началом координат; к указанным прямым восстанавливались перпендикуляры в особых точках, а затем отбрасывались части плоскости, ограниченные построенными перпендикулярами и не содержащие начала координат. Получался выпуклый многоугольник, названный Борелем многоугольником суммируемости [9]. Для точек, расположенных внутри такого многоугольника, предел (4) существует и равен обычной сумме ряда (5), если он сходится, или значению аналитического продолжения этого ряда при его расходимости.
34 См, например, Борель [5]. 50
Несколько дальше пошел Серван [1]. Вместо борелевскои функции ежон брал [1, с. 152] функции ерх, где р=\, 2, .... и определял сумму ряда (5) как
lim е-Р* 2 JL- Spn.
Л-.00 ^ (рп)\
Тогда многоугольник суммируемости оказывается криволинейным— борелевские перпендикуляры заменяются некоторыми кривыми (различными при выборе различных р), проходящими через особые точки аналитической функции, определяемой рядом (5), что позволяет вообще расширить область суммируемости по сравнению с борелевскои. Применял Серван и другие виды суммирующих функций [2].
Большое внимание теории расходящихся рядов уделил Леруа [1—4], особенно в работе «О расходящихся рядах и функциях, определяемых разложением Тейлора» [2]. Если в методах Бореля сумма расходящегося ряда определялась путем некоторого «усреднения» последовательности {Sn} частных сумм ряда (1), то Леруа пошел в направлении придания некоторых множителей самим членам ряда, причем эти множители брались такими, чтобы при rt-voo они стремились к 1. Вместо предела (3) Леруа рассматривал сумму расходящегося ряда (1) в виде предела при /-Я—0, 0^/<1, если такой предел существует, суммы ряда
<-> Г (я)
где Г — известная гамма-функция Эйлера. Этот метод суммирования оказался более трудным в аналитическом отношении и применялся, кажется, довольно редко35.
Интересными в работе Леруа являются указания на связи теории расходящихся рядов с проблемой моментов, причем не только в смысле Стилтьеса, но и для конечных и двусторонне бесконечных интервалов, и с теорией интегральных уравнений [2, с. 414—415], а также включение расходящихся рядов, суммируемых его методом, в общую теорию асимптотических разложений Пуанкаре [2, с. 426—427].
В заметке [3], опубликованной в 1900 г., Леруа сформулировал то важное утверждение, что ряд Фурье, соответствующий произвольной непрерывной функции, суммируем одним из его методов в каждой точке к этой функции. Более общий результат Фейера (знавшего, кстати, работы Леруа) относительно суммируемости по Чезаро ряда Фурье ограниченных и интегрируемых по Риману функций в точках непрерывности и точках разрыва первого ряда появился на несколько месяцев позднее.
35 См. Кнопп [I, с. 490—491], Харди [I, с. 107].
51
Мы очень коротко остановились только на нескольких работах различных французских авторов, занимавшихся расходящимися рядами помимо Бореля. Фактически число этих работ (да, видимо, и математиков, занимавшихся этой проблематикой в рассматриваемый период) было значительно большим.
§ 5. Лекции по теории функций
К началу XX столетия теория функций действительного переменного не была новой наукой. Она, как мы говорили, во многом была разработана в прошлом столетии, ее преподавали в высших учебных заведениях многих стран, и имелись превосходные для своего времени или, по крайней мере, интересные в ряде отношений монографии, посвященные ей. Укажем, например, книги Дини «Основы теории функций действительного переменного» (издание 1878 г., немецкий перевод со значительными дополнениями в 1892 г.) и «Ряды Фурье и другие аналитические представления функций действительного переменного» (1880 г.); Дюбуа-Реймона «Общая теория функций» (1882 г., французский перевод 1887 г.); трехтомный «Курс анализа» (второе издание 1893—1896 гг.) Жордана.
Однако после того как в разработку теории функций включились Борель, Бэр и Лебег, а позднее и многие другие, облик этой математической дисциплины существенно изменился. В нее более смело были введены теоретико-множественные идеи и методы, во многом обогащенные молодыми учеными. В частности, были предложены сильные методы изучения не только непрерывных, но и весьма широких классов разрывных функций. Наряду с решением многих давно поставленных проблем в рамках новых исследований возникало еще больше проблем другого рода, для решения которых нужно было привлечь новые силы.
