Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, отправляясь от ?-множеств, Лебег охарактеризовал ?-функции, и связь между этими понятиями стала обоюдной.
В этом параграфе мы уже много говорили о значении теоремы Бэра о функциях первого класса. Упоминали мы и о поисках аналога этой теоремы для высших классов, приведших к введению свойства Бэра, но не доставивших искомого аналога для функций более высоких классов. Его нашел Лебег в рассматриваемой нами работе.
Для формулировки найденного Лебегом структурного свойства функций произвольного класса нам понадобятся, кроме уже приведенных, следующие определения.
Множеством ранга а называется, по Лебегу, всякое множество, которое можно рассматривать как пересечение конечного числа или счетного множества множеств F, принадлежащих классам с индексами, меньшими а, причем такое представление
47 Напомним, что так Лебег назвал функции, охватываемые классификацией Бэра.
62
этого множества невозможно, если число а заменить меньшим числом (с. 161). Функция f(x) называется ?-функцией с точностью до є, если существует такая B-функция ф(лг), что If (х)—ч(х) I <е Для всех *• Если ф(лг) можно выбрать так, что она принадлежит классу а, но не является функцией класса с меньшим индексом, то f(x) называется функцией класса а с точностью до е; в частности, если <х=0, т.е. ф(лг) непрерывна, то 1(х) называется непрерывной с точностью до є; когда же ф (х) = const, то 1(х) называется постоянной с точностью до є (с. 170). Функция f(x) называется непрерывной в точке P^E при пренебрежении множествами некоторого семейства множеств из Е, если существует такое множество е этого семейства, что f(x), непрерывна в Я на множестве E — еЕ. Наконец, f(x) называется точечно разрывной на E при пренебрежении множествами некоторого семейства множеств из Е, если E является производным множеством тех точек из Е, в которых 1(х) непрерывна при пренебрежении множествами указанного семейства (с. 185).
Теперь мы можем сформулировать определение и теорему Лебега, которые Лузин [2, с. 251] назвал кульминационными пунктами описываемой работы Лебега.
Функция f(x) называется непрерывной (а) в точке P совершенного множества Е, если всякому е<0 можно поставить в соответствие интервал, содержащий точку Р, на котором f(x) можно рассматривать как сумму счетного множества множеств ранга не выше а, на каждом из которых f(x) постоянна с точностью до є; причем все последние множества, за исключением того из них, которое содержит Р, нигде не плотны на Е. Если E является производным множеством тех точек, в которых 1(х) непрерывна (а), то 1(х) называется точечно разрывной (а) на E (с. 191).
«Для того, чтобы функция / принадлежала самое большее классу а, необходимо и достаточно, чтобы она была точечно разрывна (а) на всяком совершенном множестве» (с. 191). Последняя теорема является точным аналогом теоремы Бэра о функциях первого класса. Однако сложные вспомогательные определения, видимо, привели к тому, что приведенная теорема Лебега не пользуется популярностью.
Описание результатов изучения французскими учеными свойств ?-множеств и ?-функций, приведенное в настоящем параграфе, еще неполно. К этому можно было бы добавить исследование Лебегом неявных функций (с. 191—201) и функций нескольких переменных, непрерывных по отношению к каждому переменному (с." 201—205); обобщение Бэром своих основных результатов на действительно-значные функции, заданные на множествах из топологического пространства последовательностей натуральных чисел [17]; многие более частные результаты, как содержащиеся в названных выше работах, так и в работах, которые не упоминались, вроде бэровской статьи [9] или статьи
63
Данжуа [1]. Тесно связаны с рассмотренными результатами общие установки авторов в отношении трансфинитных чисел и основанных на них методов доказательств, аксиомы Цермело, различных способов доказательств теорем существования, парадоксов теории множеств и т. д. Даже краткое их описание заняло бы много места. Имея в виду возвратиться к некоторым из этих вопросов в дальнейшем, особенно к последним из упомянутых, мы ограничимся сказанным и перейдем к рассмотрению проблем иного типа, в разработку которых французские ученые рассматриваемого периода внесли не меньший, если не больший вклад, нежели тот, о котором мы пока говорили.
§ 7. Дифференцирование и интегрирование
Хотя исследования французских ученых о дифференцировании и интегрировании функций неоднократно рассматривались в историко-научной литературе (Песин [1, с. 54—88, 97—99, 101 — 111, 119—121, 130, 131, 133—138, 143—145, 148—176]; Хокинс [1, с. 120—146]; Медведев [2, с. 228—294, 328—331]) 48, они должны найти место и в этой работе. Без этого мы обеднили бы картину становления и развития французской школы теории функций и не смогли бы достаточно ясно изложить далее историю разработки других проблем.
Проблемы дифференцирования и интегрирования интересовали математиков на протяжении всей истории анализа и теории функций. Интерес к ним особенно возрос на рубеже XIX—XX вв., и основными причинами этого были следующие.
