Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Вопрос о том, является ли это необходимое свойство В-функций вместе с тем и достаточным, ставили и Бэр [7, с. 1013] и Лебег. Последний, в частности, писал: «Теперь встает очень важный вопрос: является ли свойство, даваемое теоремой XVI [теоремой, что всякая B-функция обладает свойством Бэра.— Ф. M.], достаточным? И если это не так, то существуют ли функции, не удовлетворяющие ему? Я не буду пытаться отвечать на эти трудные вопросы...» [21, с. 188].
41 Мы указали лишь страницу, где Бэр привел простейший пример такой функции. Фактически большая часть этого мемуара Бэра посвящена эффективному построению функций второго и третьего классов.
58
Они действительно оказались трудными. Лишь в 1914 г. Лузин при помощи гипотезы континуума построил функцию, обладающую свойством Бэра, но не являющуюся B-функцией, а в 1921 г.— другой пример с применением аксиомы выбора; наконец, в 1928 г. Лузин и Серпинский совместно построили эффективный пример подобного рода, для чего им пришлось привлечь многие результаты теории аналитических множеств, создание которой началось лишь с 1917 г., после того как Суслин ввел понятие аналитического множества.
Немалое место в исследованиях французских ученых заняла проблема объема класса B-функций. Различные классы B-функций получаются путем итерации предельного перехода всюду по отношению к последовательности непрерывных функций. К концу XIX в. предельный переход всюду фактически являлся наиболее общим типом предельных переходов, применявшихся в анализе и теории функций42; более того, в конкретных исследованиях использовались менее общие предельные переходы: равномерный, абсолютный и монотонный. Одной из больших заслуг Бэра явилось то, что он сразу же взял на вооружение наиболее общий для конца столетия переход к пределу и использовал его для выделения первого класса разрывных функций. Другой его важной идеей было использование итерации этого предела, причем не только конечной, но даже трансфинитной, которую он применил в 1898 г. для построения своей классификации [3]. С точки зрения аналитических исследований на рубеже столетий казалось, что тем самым достигнут предел общности: все функции, появлялись ли они естественно при решении тех или иных задач или строились специально, чтобы выявить те или иные сингулярности, оказывались представимыми в виде пределов (простых или кратных) последовательностей непрерывных функций. А поскольку сразу же после введения B-функций Бэр [3, с. 1622—1623; 5, с. 70] установил, что если последовательность {fn(x)}, где fn(x) есть B-функция какого угодно класса, сходится всюду к некоторой функции f(x), то f(x) также является B-функцией (множество B-функций замкнуто относительно любой итерации предельных переходов всюду, совершаемых над B-функциями), постольку были основания считать, что множество B-функций вообще исчерпывает все функции, изобразимые аналитически.
Правда, Бэр тотчас же обнаружил [3, с. 1623; 5, с. 71], что множество B-функций имеет мощность континуум, и на основании этого утверждал, что существуют функции, не входящие в его классификацию (Кантор еще в 1883 г. установил, что множество всех функций, заданных на отрезке, имеет большую мощность).
Верхний и нижний пределы последовательностей, тоже эпизодически рассматривавшиеся в XIX столетии (Коши, Дюбуа-Реймон, Адамар), оказались не слишком более общими: они сводились к двукратным предельным переходам всюду. Сходимости в среднем, почти всюду и по мере еще не были достаточно осознанными.
59
Но упоминавшееся выше критическое отношение французских математиков к теоремам существования, не подтвержденным эффективным в некотором смысле построением (а таковым было утверждение Кантора), приводило к иллюзорности представления о существовании подобных функций: самый общий тогда способ построения функций при помощи даже трансфинитного повторения наиболее мощной аналитической операции не выводил за пределы совокупности ?-функций. Это дало повод к наименованию ?-функций функциями, изобразимыми аналитически, вошедшему в обиход математиков со времени появления мемуара Лебега [21].
Однако общее определение функции как произвольного однозначного соответствия между элементами двух множеств существовало и не позволяло ограничиться только аналитически изобразимыми функциями. Поэтому одной из основных целей, которые поставил перед собой Лебег в своем мемуаре «О функциях, изобразимых аналитически», явилось построение функций, не входящих в классификацию Бэра. Применив очень сложную конструкцию и воспользовавшись совокупностью всех трансфинитных чисел второго числового класса, Лебег [21, с. 213—215] построил примеры таких функций. В качестве вспомогательного средства построения Лебег, по существу, воспользовался операцией решета, давшей ему аналитическое множество, неизмеримое по Борелю. Процесс получения Лебегом этого множества — по выражению Лузина [4, с. 579, 580] — «очень сложен и настолько темен, что в течение более тридцати лет математики не решались анализировать этот процесс, вероятно, считая, что расшифровка процесса слишком трудна и не стоит затраченного времени, так как дело может кончиться пустяками». Однако фактическая расшифровка этого процесса выявила его большой научный интерес
